Arvutuslikud meetodid programmeerimises

Paljudel võrranditel, mis tekivad füüsikas, keemias ja inseneriteaduses — enamikul reaalseid süsteeme kirjeldavatel diferentsiaalvõrranditel, näiteks — lihtsalt puudub suletud kujul lahend: ühtki lõplikku elementaarfunktsioonide (polünoomid, eksponendid, trigonomeetrilised funktsioonid ja nii edasi) kombinatsiooni ei saa kirja panna, mis rahuldaks võrrandit täpselt. Selle asemel et loobuda, lahendavad arvutuslikud meetodid selliseid ülesandeid ligikaudselt, jagades raske pideva ülesande suureks arvuks väikesteks, lihtsateks, korduvateks arvutussammudeks, mida arvuti saab väga kiiresti täita, kuigi ükski inimene ei suudaks sama arvutust realistlikult käsitsi läbi viia.

Euleri meetod, üks lihtsamaid arvutuslikke tehnikaid, illustreerib üldist ideed selgelt. Antud diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab, kuidas suurus muutub (tema tuletis) tema hetkeväärtuse funktsioonina, ja teadaolev alguspunkt, lähendab Euleri meetod lahenduskõverat, tehes väikese sammu edasi, arvutades tuletise hetkepunktis ja kasutades seda suuruse uue väärtuse hindamiseks lühikest sammu hiljem — nii, nagu oleks tõeline, üldiselt kõverjooneline lahend selle lühikese vahemiku jooksul kohalikult sirge. See hinnatud uus punkt saab järgmise sammu alguspunktiks ja protsess kordub: arvuta kohalik tõus, astu edasi, korda, ehitades ligikaudset lahenduskõverat samm-sammult, täielikult korduva aritmeetika, mitte sümboolse manipuleerimise kaudu.

Kuna iga samm lähendab tõeliselt kõverat lahendit sirgega, toob Euleri meetod igas sammus sisse vea ja need väikesed vead kalduvad paljude sammude jooksul kuhjuma. Sammu suurus kontrollib seda kompromissi otseselt: väiksem sammu suurus jälgib tõelist kõverat lähemalt, kuna sirge on parem kohalik lähendus kõverale lühema vahemiku jooksul, vähendades igas sammus sissetoodavat viga — kuid sama kogukauguse saavutamine mööda kõverat nõuab siis proportsionaalselt rohkem samme, seega võtab kogu arvutus kauem aega. Sobiva sammu suuruse valimine, piisavalt väikese, et hoida kuhjunud viga vastuvõetavalt väiksena, kuid piisavalt suure, et arvutus lõpetada mõistliku aja jooksul, on ise keskne praktiline oskus mistahes arvutusliku meetodi rakendamisel, ja see on põhjus, miks arvutuslikud meetodid, kuigi ainult ligikaudsed, jäävad hädavajalikuks läbivalt füüsikas ja keemias, kus iganes ülesande täpne lahend on tundmatu või ebapraktiline otse arvutada.