Õpitee

Arvu i lisamine, mille ruut on −1, laiendab reaalarvud kompleksarvudeks kujul a + bi, milles igal polünoomvõrrandil on lahend ja aritmeetika toimib täpselt nagu varem.

Kompleksarvu kirjutamine mooduli ja argumendi kaudu reaal- ja imaginaarosa asemel muudab korrutamise pikkuste korrutamiseks ja nurkade liitmiseks ning Euleri valem surub kogu mõtte kujusse re^(iθ).

Funktsioon seab igale sisendile vastavusse täpselt ühe väljundi; seda saab pöördfunktsiooniga tagasi pöörata ainult siis, kui funktsioon on üksühene — just seepärast tuleb määramispiirkonda enne pöördfunktsiooni olemasolu sageli kitsendada.

Tõenäosus omistab igale tulemile arvu vahemikus 0 kuni 1; sündmuste ühendamise reeglid sõltuvad sellest, kas need on teineteist välistavad ja kas need on sõltumatud — need on eri küsimused eri kontrollidega.

Juhuslik suurus seab igale tulemile vastavusse arvu ja selle jaotus näitab, kuidas see arv on jaotunud; keskväärtus ja dispersioon võtavad jaotuse kokku ning normaaljaotus tekib alati, kui paljud väikesed mõjud liituvad.

Käputäis nimega jaotusi — binoomjaotus edu arvu loendamiseks fikseeritud arvu sõltumatute katsete korral, Poissoni jaotus harvade sündmuste loendamiseks pideval taustal, normaaljaotus pideva mõõtmisvea kirjeldamiseks ja Studenti t-jaotus väikese valimi hindamiseks — katavad enamiku juhuslikest suurustest, millega statistika tegelikult tegeleb, ning igaüks neist on määratud vaid ühe või kahe parameetriga.

Vektoril ruumis on nii pikkus kui ka suund, koordinaatides kirjutatakse see järjestatud kolmikuna ja liitmine käib komponentide kaupa — nii muutub kolmemõõtmeline geomeetria arvutamiseks.

Skalaarkorrutis korrutab kaks vektorit üheks arvuks, mis näitab, kui palju need osutavad ühes suunas — see on null täpselt siis, kui vektorid on risti, mistõttu on see standardne täisnurga kontroll.

Kahe ruumivektori vektorkorrutis on kolmas vektor, mis on mõlemaga risti, mille pikkus võrdub nende poolt moodustatud rööpküliku pindalaga ja mille suuna määrab parema käe reegel.

Sirge ruumis on määratud punkti ja sihivektoriga, tasand punkti ja normaalvektoriga — ning kui mõlemad on nii kirja pandud, taanduvad lõikumise, kauguse ja nurga küsimused skalaar- ja vektorkorrutisteks.

Funktsiooni piirväärtus punktis on väärtus, millele selle väljundid lähenevad, kui sisend punktile läheneb, sõltumata sellest, kas funktsioon on seal üldse määratud — just see teeb piirväärtusest õige vahendi hetkeliste muutumiskiiruste kirjeldamiseks.

Funktsiooni tuletis punktis on selle diferentssuhte piirväärtus — hetkeline muutumiskiirus, mis võrdub sealse puutuja tõusuga.

Esimese tuletise märk näitab, kus funktsioon kasvab või kahaneb ning kus on lokaalsed ekstreemumid; teise tuletise märk näitab, kus graafik on kumer või nõgus ning kus on käänupunktid — koos muudavad need algebralise avaldise täpseks joonistuseks ilma punkte arvutamata.

Integreerimine pöörab tuletise võtmise ümber, taastades funktsioonide pere, mis erinevad ainult konstandi poolest — just seepärast kannab iga määramata integraal liiget +C.

Määratud integraal on õhukeste ribade summa piirväärtus, mis annab kogunenud koguse, näiteks pindala või töö; Newton-Leibnizi valem laseb selle arvutada mistahes algfunktsiooni abil.

Päratu integraal laiendab kindla integraali lõpmatu integreerimispiiriga või intervalli sees tõkestamata alusfunktsiooniga juhtudele; tal on väärtus ainult siis, kui vastav harilike integraalide piirväärtus tegelikult koondub, mitte lihtsalt seetõttu, et alusfunktsioon kahaneb.

Maatriks on ristkülikukujuline arvutabel, mis kodeerib lineaarteisenduse; maatriksite korrutamine liidab need teisendused järjestikku, mistõttu see ei ole kommutatiivne.

Ruutmaatriksi determinant on üksainus arv, mis annab teguri, mille võrra teisendus ruumala muudab — see on null täpselt siis, kui teisendus surub ruumi kokku ja seda ei saa pöörata.

Lineaarvõrrandisüsteemil on kas täpselt üks lahend, mitte ühtegi või lõpmata palju — ja mitte kunagi muud arvu — ning Gaussi meetod otsustab, milline juht kehtib, andes ühtlasi lahendi.

Vektorruum on mistahes hulk, mille elemente saab tavareeglite järgi liita ja skalaariga korrutada; vektorite hulk on lineaarselt sõltumatu, kui ükski neist ei ole teiste kombinatsioon, ning sõltumatu moodustajate hulk on baas, mille suurus ongi mõõde.

Lõpmatu rida on selle osasummade piirväärtus; rida koondub ainult siis, kui need summad settivad mingile väärtusele, ning liikmete kahanemine nullini on selleks vajalik, kuid kaugeltki mitte piisav.

Osatuletis mõõdab, kuidas mitme muutuja funktsioon muutub, kui üks muutuja liigub ja ülejäänud hoitakse kinni, mistõttu on pinnal igas suunas eri tõus ja selle kirjeldamiseks on vaja mitut tuletist.

Kaksik- või kolmikintegraal kogub suuruse üle tasandi- või ruumipiirkonna, integreerides üht muutujat korraga, kusjuures sisemise integraali rajad kirjeldavad piirkonna kuju.

Diferentsiaalvõrrand seob funktsiooni tema enda tuletisega; eralduvate muutujatega ja lineaarsed esimest järku võrrandid on kaks tüüpi, mida saab lahendada otsese integreerimisega, andes lahendite pere, mida algtingimus kitsendab.

Konstantsete kordajatega lineaarne teist järku diferentsiaalvõrrand lahendatakse, asendades katselise eksponentsiaalse lahendi, muutes diferentsiaalvõrrandi algebraliseks karakteristlikuks võrrandiks, mille juured määravad, kas üldlahend on reaalsete eksponentide summa, üksik korduv eksponent korrutatuna polünoomteguriga, või võnkuv eksponent — täpselt see matemaatika, mis on füüsikas summutatud ja sundvõnkumiste taga.

Fourier' rida esitab perioodilise funktsiooni siinuste ja koosinuste lõpmatu summana, tuginedes sellele, et need funktsioonid on üle ühe perioodi vastastikku ortogonaalsed — see sama ortogonaalsus annab igale kordajale kinnise integraalavaldise, mis ei sõltu ühestki teisest liikmest.

Punkthinnang on üksainus arv, mis arvutatakse valimist tundmatu populatsiooniparameetri esindamiseks, kuid see on peaaegu mitte kunagi täpselt õige; vahemikhinnang esitab selle ümber vahemiku — mis on üles ehitatud valimi omast varieeruvusest —, mis sisaldaks tõelist parameetrit teatud osas korduvatest valimitest, ning see on aus viis öelda, kui palju punkthinnangut usaldada.

Hüpoteeside kontrollimine algab eeldusest, et nullhüpotees kehtib, arvutab teststatistiku, mis mõõdab, kui kaugele valim sellest eeldusest hälbib, ning lükkab nullhüpoteesi tagasi ainult siis, kui see hälve oleks juhuslikkusega liiga ebatõenäoliselt seletatav — see saab nullhüpoteesi ümber lükata, kuid ei tõesta seda kunagi õigeks, vaid ainult ei lükka tagasi.

Kompleksmuutuja funktsioon on erakordselt tugevas mõttes diferentseeruv — holomorfne — täpselt siis, kui selle reaal- ja imaginaarosa rahuldavad Cauchy-Riemanni võrrandeid, ja just see jäikus teeb kompleksanalüüsi palju võimsamaks kui selle reaalne vaste.

Konformne teisendus on kompleksmuutuja funktsioon, mis säilitab lõikuvate kõverate vahelised nurgad igas punktis, kus tema tuletis ei ole null — see on holomorfsuse tagajärg, mitte lisaeeldus —, mistõttu on sellised teisendused eelistatud tööriist tülika geomeetrilise piirkonna moondamiseks lihtsaks (ketaks, pooltasandiks), säilitades kohaliku nurgastruktuuri, millest sõltuvad füüsikalise välja rajatingimused.

Laurent' rida üldistab Taylori rida, lubades (z − z₀) negatiivseid astmeid, mis on täpselt see, mida on vaja funktsiooni esitamiseks punkti ümber, kus see ei ole holomorfne; nende negatiivsete astmete liikmete muster liigitab eripunkti kõrvaldatavaks (ühtki liiget), lõpliku järjekorra pooluseks (lõplikult palju liikmeid) või olemuslikuks (lõpmatult palju liikmeid) — ja ainult olemuslik juhtum lööb läbi kõik algebralised nipid seal piirväärtuse arvutamiseks.

Jäägiteoreem ütleb, et funktsiooni integraal suletud kontuuri ümber võrdub 2πi korda selle jääkide summa — üksainus arv, mis on seotud iga kontuuri sisse jääva isoleeritud eripunktiga —, muutes integraalid, mis on reaalmuutuja meetoditega raskesti või üldse mitte leitavad, käputäie jääkide leidmise algebraliseks ülesandeks.

Funktsiooni f(x, y) tingimusteta lokaalne ekstreemum saab tekkida ainult seal, kus kõik osatuletised on null, ning teise tuletise (Hesse maatriksi) test eristab seejärel maksimumi, miinimumi ja sadulpunkti; kui otsing on piiratud tingimusega g(x, y) = c, asendab Lagrange'i meetod selle tingimuse võrdusega ∇f = λ∇g — geomeetriline fakt, et piiratud ekstreemumis on f taseme joon g kõveraga puutuja.

Vektorväli seab igale ruumipunktile vastavusse vektori; skalaarvälja gradient on vektorväli, mis osutab kõige järsema kasvu suunas, ja see on alati risti välja nivoopindadega.

Divergents mõõdab, kui palju vektorväli punktist väljapoole hajub, ja rootor mõõdab, kui palju see punkti ümber tsirkuleerib — vedeliku kiirusväljal on allika juures positiivne divergents ja nullist erinev rootor kõikjal, kus toimub kohalik pöörlemine.

Tensor üldistab vektoreid ja maatrikseid objektiks, millel võib olla suvaline arv indekseid ja mis teisendub koordinaatide muutumisel kindlal, ennustataval viisil; kõverjoonelised süsteemid, nagu polaar- või sfäärilised koordinaadid, vajavad seda aparaati, kuna nende alusvektorid muudavad punktist punkti suunda, mistõttu gradiendil, divergentsil ja rootoril tekivad lisaliikmed, mis Descartes'i sirgjoonelistes koordinaatides kaovad.

Gaussi teoreem teisendab välja divergentsi ruumalaintegraali vooguks läbi ümbritseva pinna ja Stokesi teoreem teisendab välja rootori pindalaintegraali tsirkulatsiooniks ümber piirava kõvera — mõlemad on matemaatilise analüüsi põhiteoreemi üldistused väljadele.

Maatriksi omavektor on suund, mida teisendus ainult venitab, kunagi ei pööra, ja venitusteguriks on selle omaväärtus — nende leidmine paljastab teljed, mille suunas keeruline teisendus toimib sama lihtsalt kui korrutamine.

Muutujate eraldamine Laplace'i või lainevõrrandis kõverjoonelisel kujul — silindril, sfääril, kvantsüsteemi kaevus — jätab järele teist järku diferentsiaalvõrrandi, mida siinused, koosinused või eksponentfunktsioonid ei lahenda; iga nimeline pere (Besseli funktsioonid silindrilise sümmeetria, Legendre'i polünoomid sfäärilise, Hermite'i polünoomid kvantharmoonilise ostsillaatori, Laguerre'i polünoomid vesinikuaatomi radiaalosa jaoks) on konkreetne lahend ühele säärasele võrrandile, ja kokku moodustavad need täieliku ortogonaalse baasi funktsioonide arendamiseks sellel kujul — samas rollis, mida siinused ja koosinused täidavad tavalises Fourier' reas.

Üldine teist järku lineaarne osatuletistega võrrand Au_xx + Bu_xy + Cu_yy + ⋯ = 0 liigitatakse diskriminandi B² − 4AC järgi täpses analoogias kooniliste lõikega: negatiivne tähendab elliptilist (nagu Laplace' võrrand, mis kirjeldab statsionaarseid olekuid), null tähendab paraboolilist (nagu soojusvõrrand, mis kirjeldab difusiooni) ja positiivne tähendab hüperboolset (nagu lainevõrrand, mis kirjeldab levikut) — ja igal klassil on tegelikult vaja erinevat tüüpi raja- või algtingimust, et lahend oleks korrektselt püstitatud.

Greeni funktsioon G(x, ξ) on lineaarse operaatori vastus ühele punktimpulsile kohal ξ, mis on ehitatud üks kord ainult rajatingimuste põhjal — kui see on olemas, on sama operaatori lahendus suvalise lähteliikme f(x) korral lihtsalt integraal ∫G(x, ξ)f(ξ)dξ, mis muudab igasuguse tuleviku ülesande samade rajatingimustega otsimiseks ja integreerimiseks, mitte uueks tuletuseks.

Osatuletistega diferentsiaalvõrrand seob mitme muutuja funktsiooni tema oma osatuletistega, seega on lahend funktsioon, mitte arv; soojusvõrrand, lainevõrrand ja Laplace'i võrrand on kolm arhetüüpi, mida on kasulik esimesest pilgust tunda, kuna igaüks käitub kvalitatiivselt erinevalt ja kirjeldab erinevat füüsikalist protsessi.

Laplace'i teisendus kirjutab aja funktsiooni ümber komplekssageduse muutuja s funktsioonina, muutes tuletised korrutamiseks s-ga — nii muutub antud algtingimustega lineaarne diferentsiaalvõrrand algebraliseks võrrandiks, mille saab lahendada tavalise algebraga ja seejärel tagasi teisendada.

Muutujate eraldamise meetod eeldab osatuletistega diferentsiaalvõrrandi lahendit üksikute muutujate funktsioonide korrutisena, mis muudab osatuletistega võrrandi mitmeks ühise konstandiga seotud harilikuks diferentsiaalvõrrandiks; tekkiv rajaväärtusülesandega harilik diferentsiaalvõrrand on Sturm-Liouville'i ülesanne, mille omaväärtused annavad lubatud eraldamiskonstandid ja mille omafunktsioonid moodustavad täieliku ortogonaalse baasi üldlahendi ritta koostamiseks.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandite süsteemi saab kujutada voona tasandil, kus igat punkti nihutatakse võrranditega määratud suunas ja kiirusega; püsipunkt on koht, kus see voog seiskub, ja süsteemi lineariseerimine seal — Jacobi maatriksi omaväärtuste kaudu — liigitab selle stabiilseks sõlmeks, ebastabiilseks sõlmeks, sadulaks või spiraaliks, ilma et tuleks kunagi lahendada täielik mittelineaarne süsteem.