Otsing

Hape loovutab prootoneid ja alus võtab neid vastu; pH on vesinikioonide kontsentratsiooni negatiivne logaritm, seega tähendab iga pH-ühik kümnekordset happesuse muutust.

Alkeeni või alküüni suhteliselt nõrga, avatud pi-sideme lõhub liitumisreaktsioon, mille käigus elektrofiili tõmbab ligi elektronirikas pi-side, see moodustab sideme ühe süsinikuga ja tekitab katioonse vaheühendi, mida seejärel ründab nukleofiil, muutes kaksik- või kolmiksideme uuteks üksiksidemeteks lisatud aatomitega.

Langmuiri isoterm modelleerib gaasi adsorptsiooni tahke pinna külge dünaamilise tasakaaluna molekulide kinnitumise ja lõpliku arvu identsete pinnasaitide vahel lahkumise vahel, ennustades, et pinnakattuvus kasvab madala rõhu juures rõhuga lineaarselt, kuid saturub kõrge rõhu juures, kui iga sait on täidetud, erinevalt piiramatust, pidevalt kasvavast kattuvusest, mida lihtne proportsionaalne mudel ekslikult ennustaks.

Aromaatne ring, näiteks benseen, omab elektrone, mis on ühtlaselt delokaliseeritud üle kogu ringi, mitte kinnistunud vahelduvatesse üksik- ja kaksiksidemetesse, mistõttu on see tavalisest alkeenist palju stabiilsem ja reageerib teisiti.

Arrheniuse võrrand, k = A·e^(−Ea/RT), tabab, miks reaktsioonikiirused kasvavad temperatuuriga järsult: ainult molekulid, mis põrkuvad kineetilise energiaga üle aktivatsioonienergia Ea, saavad reageerida, ja eksponentsiaalselt kasvav osa molekulidest, mis seda lävendit temperatuuri tõustes täidavad, ongi see, mis juhib kiiruskonstandi tugevat temperatuurisõltuvust.

Ketooni või aldehüüdi süsinik-hapnik kaksikside on tugevalt polariseeritud, jättes süsiniku elektronivaeseks ja otseselt nukleofiilidele atraktiivseks, mis liituvad üle pi-sideme, moodustades tetraeedrilise alkoksiidi vaheühendi — sama polarisatsioon lubab ka alfa-süsiniku C-H sidemetel ioniseeruda nõrga happena, avades teise, täiendava reaktsioonivõimekuse režiimi nimega enoliseerumine.

Karboksüülhappe derivaadid (happekloriidid, anhüdriidid, estrid ja amiidid) jagavad karbonüülsüsinikku, mis on seotud lahkuva rühmaga, ja nukleofiili rünnak sellele süsinikule moodustab sama tetraeedrilise vaheühendi, mida näeb lihtsas karbonüüli liitumises, ainult et lahkuv rühm seejärel väljutatakse, taastades karbonüüli — liitumine-elimineerimise jada, mille kogukiiruse määrab see, kui hea lahkuv rühm igal derivaadil on.

Katalüsaator kiirendab reaktsiooni, avades alternatiivse reaktsioonitee madalama aktivatsioonienergiaga, ilma et see ise kuluks ja ilma reaktsiooni üldist tasakaalupositsiooni muutmata, ja see liigitatakse homogeenseks, kui see jagab lähteainetega sama faasi (nagu ensüümid lahuses), või heterogeenseks, kui see eksisteerib eraldi faasis, kõige sagedamini tahke pinnana, millele lähteainete molekulid adsorbeeruvad.

Aatomid seonduvad elektrone loovutades või jagades ning see, kus side ioonilise ja kovalentse vahelisel skaalal asub, sõltub elektronegatiivsuste erinevusest — mis omakorda ennustab aine sulamistemperatuuri, lahustuvust ja juhtivust.

Pöörduv reaktsioon jõuab tasakaalu, kui pärid- ja vastassuunalise reaktsiooni kiirused võrdsustuvad, mistõttu kontsentratsioonid enam ei muutu, kuigi mõlemad reaktsioonid jätkuvad — ja häiring nihutab tasakaalu suunas, mis seda osaliselt tasandab.

Vedelikus hõljuv kolloidosake omandab pinnalaengu, mis tõmbab enda ümber difuusse vastasioonide pilve elektrilise kaksikkihina; kui osake liigub vedeliku suhtes — rakendatud välja toimel (elektroforees) või raskusjõu toimel — liigub sellega kaasa ainult osa sellest pilvest, mistõttu just libisemispinnal olev elektrokineetiline (zeta) potentsiaal, mitte paljas pinnalaeng, määrab, kui tugevasti samanimeliselt laetud osakesed teineteist tõukavad ja seega, kas dispersioon püsib stabiilsena või koaguleerub.

Tugev elektrolüüt dissotsieerub lahuses sisuliselt täielikult ioonideks, samal ajal kui nõrk elektrolüüt jõuab ainult osalise dissotsiatsiooni tasakaaluni, ja see erinevus avaldub otseselt moolses elektrijuhtivuses, mis tugeva elektrolüüdi jaoks langeb kontsentratsiooniga ainult tagasihoidlikult ioon-ioon vastastikmõjude tõttu, kuid nõrga elektrolüüdi jaoks langeb järsult kontsentratsiooni kasvades, kuna tegelikult dissotsieerunud osakaal väheneb.

Benseeni delokaliseeritud elektronide ring reageerib elektrofiilidega asenduse, mitte liitumise teel, kuna rünnakust tekkiv vaheühend säilitab osalise ringi ja viimane samm taastab aromaatse süsteemi prootoni kaotamise, mitte teise rühma lisamise teel, säilitades suure stabilisatsioonienergia, mille liitumine muidu hävitaks.

Funktsionaalrühm on molekulis reageeriv konkreetne aatomite paigutus, seega alluvad sama funktsionaalrühmaga molekulid samadele iseloomulikele reaktsioonidele, olenemata sellest, kui suur või erinev on ülejäänud molekul.

Vesinik moodustab ühendeid peaaegu kogu perioodilisussüsteemi ulatuses, ulatudes ioonsetest hüdriididest reaktiivsete metallidega kuni kovalentsete hüdriidideni mittemetallidega, ning elektrivoolu läbijuhtimine vee või sulasoola kaudu (elektrolüüs) käivitab muidu mitteiseeneslikult kulgeva lagunemisreaktsiooni, sundides elektrone katioonidele katoodil ja tõmmates neid anioonidelt anoodil.

Massispektromeeter identifitseerib molekule, ioniseerides proovi, eraldades tekkinud ioonid nende massi-laengu suhte järgi ja registreerides iga suhte esinemissageduse, tekitades massispektri, mille fragmenteerumismuster toimib algse molekuli struktuurse sõrmejäljena lisaks tema täpse molekulmassi andmisele.

Elektrokeemiline (aktiivsus-) pingerida järjestab metallid nende kalduvuse järgi kaotada elektrone ja oksüdeeruda, ennustades nii seda, milline metall paarist korrodeerub eelistatult, kui nad on elektrilises kontaktis, kui ka seda, miks reaktiivsem 'ohverdatav' metall suudab kaitsta vähem reaktiivset metalli korrosiooni eest, oksüdeerudes tema asemel.

Molekulaarorbitaali teooria ehitab sideme, kombineerides aatomorbitaalid uuteks orbitaalideks, mis on delokaliseeritud üle kogu molekuli, kusjuures siduvad kombinatsioonid on madalama energiaga kui algsed aatomorbitaalid ja lõdvestavad kombinatsioonid kõrgema energiaga, samal ajal kui orbitaali hübridisatsioon on täiendav raamatupidamisvahend, mis segab aatomi enda orbitaalid uuteks kujudeks, mis vastavad tegelikult vaadeldud geomeetriale, näiteks tetraeedrilisele sp3 paigutusele tüüpilise süsinikuaatomi ümber.

Nukleofiil on elektronirikas osake, mis ründab elektronivaest süsinikku, tõrjudes välja lahkuva rühma; reaktsioon võib toimuda ühes samaaegses etapis või kahes etapis läbi stabiilse vaheühendi, ja see, milline tee toimib, muudab seda, mis tulemust ennustab.

Elemendi oksiid on aluseline, kui element on tugevalt metalliline, happeline, kui element on tugevalt mittemetalliline, ja amfoteerne elementide jaoks, mis asuvad metalli-mittemetalli piiri lähedal, ning sama trend jätkub hapnikhapetes — hapetes, mis sisaldavad hapnikuga seotud tsentraalset aatomit —, mille happe tugevus kasvab selle tsentraalse aatomi elektronegatiivsuse ja oksüdatsiooniastmega.

Piki kahe puhta aine faasi vahelist piiri faasidiagrammil on aururõhk ja temperatuur omavahel lukustatud Clausiuse-Clapeyroni võrrandiga, mis tuleneb nõudest, et mõlemal faasil oleks tasakaalus võrdne Gibbsi energia, ja selgitab, miks keemistemperatuur rõhuga tõuseb ja miks piiri järsust määrab siirde entalpia.

Raoulti seadus väidab, et ideaalse lahuse aururõhk igast lenduvast komponendist on selle komponendi puhta aururõhk, skaleeritud tema moolimurruga, ja see lihtne lahjendamisefekt on kolligatiivsete omaduste — keemistemperatuuri tõusu, külmumistemperatuuri languse ja osmootse rõhu — ühine päritolu, mis sõltuvad ainult sellest, kui palju lahustunud osakesi on lahustunud, mitte sellest, mis need keemiliselt on.

Reaktsioonikiirus sõltub sellest, kui sageli lähteainete osakesed põrkuvad piisava energia ja õige orientatsiooniga, mistõttu kontsentratsioon, temperatuur, pindala ja katalüsaatorid muudavad seda — tasakaaluasendit puudutamata.

Kovalentne side võib katkeda homolüütiliselt, kusjuures kumbki aatom hoiab ühe elektroni, moodustades kaks neutraalset radikaali, või heterolüütiliselt, mille korral mõlemad elektronid lähevad ühele aatomile, moodustades katiooni ja aniooni, ning see, kumba rada reaktsioon järgib, määrab, kas tekkivad reaktiivsed osakesed on radikaalid või elektrofiilid ja nukleofiilid, mis domineerivad ioonses orgaanilises keemias.

Reaktsiooni kiiruse võrrand väljendab selle kiirust kiiruskonstandi ja lähteainete kontsentratsioonide korrutisena, tõstetuna eksperimentaalselt määratud astmetesse — reaktsiooni järk igas osalises —, mis tuleb mõõta, mitte lugeda maha tasakaalustatud võrrandist, kuna reaktsiooni järk peegeldab tema tegelikku samm-sammulist mehhanismi, mitte tema üldist stöhhiomeetriat.

Redoksreaktsioonis kanduvad elektronid ühelt osakeselt teisele: loovutaja oksüdeerub ja vastuvõtja redutseerub ning kuna elektrone ei saa juurde tekitada, toimuvad need kaks alati koos ja võrdses koguses.

Tasakaalustatud võrrand annab kindla suhte, milles ained reageerivad, moolides, mitte grammides — seega tähendab saaduse koguse ennustamine moolideks teisendamist, suhte rakendamist ja tagasi teisendamist.

14. rühm ulatub süsinikust, mille võime moodustada tugevaid sidemeid iseendaga ja laia valikut teiste elementidega on kogu orgaanilise keemia aluseks, läbi räni, mille võrreldavalt tugevad sidemed hapnikuga muudavad selle asemel silikaadid tahke Maa domineerivaks keemiaks, kuni üha metallilisema germaaniumi, tina ja pliini.

Halogeenid on kõige reaktsioonivõimelisem mittemetallide rühm, sest igal aatomil on täidetud väliskihini vaja ainult ühte lisaelektroni, ning nende oksüdeeriv võime langeb rühmas allapoole liikudes ühtlaselt, kuna seda elektroni on üha raskem ligi tõmmata.

Mool on SI-ühik osakeste loendamiseks, defineeritud nii, et üks mool mistahes ainet sisaldab sama arvu osakesi — see lubab kaalul mõõdetud massi teisendada aatomite või molekulide arvuks.

Nernsti võrrand seob elektrokeemilise elemendi tegeliku pinge tema standardpotentsiaali ja kaasatud osaliste kontsentratsioonidega (aktiivsustega), näidates, et elemendi potentsiaal ei ole fikseeritud konstant, vaid nihkub kontsentratsiooniga viisil, mis jõuab täpselt nullini siis, kui elemendi reaktsioon jõuab tasakaaluni.

15. rühm ulatub lämmastikust, kaheaatomilisest gaasist, mille kolmikside teeb selle erakordselt vähereaktiivseks, läbi fosfori ja arseeni üha metallilisema antimoni ja vismutini, ning lämmastiku enda keemiat domineerib ebatavaliselt lai oksüdatsiooniastmete vahemik, -3-st ammoniaagis kuni +5-ni lämmastikhappes, peegeldades, kui palju erinevaid sidemepaigutusi tema viis valentselektroni suudavad toetada.

Elementide järjestamine aatomnumbri järgi paigutab need rühmadesse, mille liikmetel on ühesugune väliselektronide konfiguratsioon, mistõttu omadused nagu aatomiraadius, ionisatsioonienergia ja reaktsioonivõime muutuvad perioodis ja rühmas ennustatavate seaduspärade järgi.

Siirdemetallid täidavad sisemist d-alakihti, mitte kõige välimist, mistõttu suudavad need omandada mitmeid oksüdatsiooniastmeid, moodustada värvilisi ühendeid ning siduda ümbritsevaid molekule loovutatud elektronpaaridega hoitavateks kompleksühenditeks.

Värviline või UV-kiirgust neelav lahus neelab valgust kõige tugevamalt lainepikkustel, mis vastavad tema molekulide elektronsiiretele, ja Beer-Lamberti seadus väidab, et neeldumine on otseselt võrdeline nii neeldava osalise kontsentratsiooni kui valguse teepikkusega läbi proovi, muutes lihtsa neeldumise mõõtmise otseseks kvantitatiivseks kontsentratsiooni määramiseks.

Algoritm on lõplik ühemõtteline sammude jada, mis lahendab teatud ülesandeklassi; programm on algoritmi üks väljendus mingis keeles ja sama algoritmi saab kirjutada paljudes keeltes.

Tingimuslaused lasevad programmil teede vahel valida ja tsüklid lasevad tööd korrata ning koos muudavad need kindla käskude loendi millekski, mille käitumine sõltub andmetest.

Andmestruktuur korraldab väärtused mälus nii, et kindlaid tehteid — elemendile ligipääs, otsimine, lisamine või eemaldamine — saab teostada tõhusalt, ja õige struktuuri valimine (massiiv kiireks indekseeritud ligipääsuks, lingitud loend odavaks lisamiseks jne) ongi see, mis tegelikult määrab, kas sellel andmel töötav algoritm skaleerub hästi andmemahu kasvades.

Arvutuslikud meetodid lahendavad võrrandeid, millel puudub mugav suletud kujul lahend, jagades ülesande paljudeks väikesteks korduvateks sammudeks, mida arvuti saab täita, näiteks Euleri meetod diferentsiaalvõrrandi lahendi ligikaudseks arvutamiseks väikeste lineaarsete sammude jadana, hinnaks lähendusvea sissetoomine, mida tuleb mõista ja kontrollida.

Mitte iga tahke aine ei ole kristalliline: amorfne tahke aine nagu klaas jahutatakse piisavalt kiiresti, et selle aatomid külmuvad korrastamata, vedelikutaolisse paigutusse, ilma et need kunagi asetuksid perioodilisse võresse, samal ajal kui vedelkristall hõivab vastupidise vahepealse ala, säilitades vedeliku voolamisvõime, hoides samas osalist, suunast sõltuvat molekulaarset korrastatust, mis tavalistel vedelikel puudub.

Difraktsioon, mikroskoopia ja spektroskoopia paljastavad kõik erineva mõõtkavaga materjali struktuuri — kristalli geomeetria, reaalruumi topoloogia või keemilise sideme — ning õige meetodi valimine tähendab meetodi sondi sobitamist küsimuse pikkusmõõtkavaga.

Metallid, keraamika, polümeerid ja komposiidid erinevad kõigepealt selle poolest, kuidas nende aatomid seonduvad, ja see erinevus kandub edasi igasse omadusse, mis otsustab, kus kumbagi kasutatakse.

Komposiitmaterjal ühendab kaks või enam eraldiseisvat koostismaterjali — tavaliselt tugevdava faasi, mis kannab enamikku mehaanilisest koormusest, ja ümbritseva maatriksi, mis seob selle kokku ja kannab pinge üle —, et saavutada omaduste kombinatsioon, näiteks kõrge jäikus madala kaalu juures, mida kumbki koostisosa üksinda ei suudaks anda.

Pinge all olev materjal deformeerub esmalt elastselt, taastades pinge eemaldamisel täielikult oma algse kuju, kuid materjalispetsiifilisest voolavuspiirist möödudes deformeerub see selle asemel plastselt, läbides püsiva kujumuutuse, mida mikroskoopilisel tasandil juhib dislokatsioonide pöördumatu liikumine läbi kristallvõre, ja jätkuv deformatsioon viib lõpuks purunemiseni.

Polümeer on hiiglaslik molekul, mis on ehitatud paljudest korduvatest väikestest üksustest (monomeeridest), mis on ühendatud polümerisatsiooni teel, ja see, kas see pehmeneb kuumutamisel pöörduvalt (termoplast, hoitud koos ahelatega, mis saavad üksteisest mööda libiseda) või on kord moodustununa püsivalt jäik (termoreaktiivne, lukustatud üheks kovalentselt ristsidestatud võrgustikuks), on täielikult määratud ahelatevaheliste ristsidemete olemasolu või puudumisega.

Materjali kasulikud omadused tulenevad selle struktuurist korraga mitmel tasandil — aatomite seotus, kristalliline korrastus, defektid ja mikrostruktuur — ja just seepärast võib sama element olla pehme grafiit või kõva teemant.

Muutujate eraldamine Laplace'i või lainevõrrandis kõverjoonelisel kujul — silindril, sfääril, kvantsüsteemi kaevus — jätab järele teist järku diferentsiaalvõrrandi, mida siinused, koosinused või eksponentfunktsioonid ei lahenda; iga nimeline pere (Besseli funktsioonid silindrilise sümmeetria, Legendre'i polünoomid sfäärilise, Hermite'i polünoomid kvantharmoonilise ostsillaatori, Laguerre'i polünoomid vesinikuaatomi radiaalosa jaoks) on konkreetne lahend ühele säärasele võrrandile, ja kokku moodustavad need täieliku ortogonaalse baasi funktsioonide arendamiseks sellel kujul — samas rollis, mida siinused ja koosinused täidavad tavalises Fourier' reas.

Üldine teist järku lineaarne osatuletistega võrrand Au_xx + Bu_xy + Cu_yy + ⋯ = 0 liigitatakse diskriminandi B² − 4AC järgi täpses analoogias kooniliste lõikega: negatiivne tähendab elliptilist (nagu Laplace' võrrand, mis kirjeldab statsionaarseid olekuid), null tähendab paraboolilist (nagu soojusvõrrand, mis kirjeldab difusiooni) ja positiivne tähendab hüperboolset (nagu lainevõrrand, mis kirjeldab levikut) — ja igal klassil on tegelikult vaja erinevat tüüpi raja- või algtingimust, et lahend oleks korrektselt püstitatud.

Käputäis nimega jaotusi — binoomjaotus edu arvu loendamiseks fikseeritud arvu sõltumatute katsete korral, Poissoni jaotus harvade sündmuste loendamiseks pideval taustal, normaaljaotus pideva mõõtmisvea kirjeldamiseks ja Studenti t-jaotus väikese valimi hindamiseks — katavad enamiku juhuslikest suurustest, millega statistika tegelikult tegeleb, ning igaüks neist on määratud vaid ühe või kahe parameetriga.

Arvu i lisamine, mille ruut on −1, laiendab reaalarvud kompleksarvudeks kujul a + bi, milles igal polünoomvõrrandil on lahend ja aritmeetika toimib täpselt nagu varem.

Konformne teisendus on kompleksmuutuja funktsioon, mis säilitab lõikuvate kõverate vahelised nurgad igas punktis, kus tema tuletis ei ole null — see on holomorfsuse tagajärg, mitte lisaeeldus —, mistõttu on sellised teisendused eelistatud tööriist tülika geomeetrilise piirkonna moondamiseks lihtsaks (ketaks, pooltasandiks), säilitades kohaliku nurgastruktuuri, millest sõltuvad füüsikalise välja rajatingimused.

Esimese tuletise märk näitab, kus funktsioon kasvab või kahaneb ning kus on lokaalsed ekstreemumid; teise tuletise märk näitab, kus graafik on kumer või nõgus ning kus on käänupunktid — koos muudavad need algebralise avaldise täpseks joonistuseks ilma punkte arvutamata.

Ruutmaatriksi determinant on üksainus arv, mis annab teguri, mille võrra teisendus ruumala muudab — see on null täpselt siis, kui teisendus surub ruumi kokku ja seda ei saa pöörata.

Divergents mõõdab, kui palju vektorväli punktist väljapoole hajub, ja rootor mõõdab, kui palju see punkti ümber tsirkuleerib — vedeliku kiirusväljal on allika juures positiivne divergents ja nullist erinev rootor kõikjal, kus toimub kohalik pöörlemine.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandite süsteemi saab kujutada voona tasandil, kus igat punkti nihutatakse võrranditega määratud suunas ja kiirusega; püsipunkt on koht, kus see voog seiskub, ja süsteemi lineariseerimine seal — Jacobi maatriksi omaväärtuste kaudu — liigitab selle stabiilseks sõlmeks, ebastabiilseks sõlmeks, sadulaks või spiraaliks, ilma et tuleks kunagi lahendada täielik mittelineaarne süsteem.

Maatriksi omavektor on suund, mida teisendus ainult venitab, kunagi ei pööra, ja venitusteguriks on selle omaväärtus — nende leidmine paljastab teljed, mille suunas keeruline teisendus toimib sama lihtsalt kui korrutamine.

Diferentsiaalvõrrand seob funktsiooni tema enda tuletisega; eralduvate muutujatega ja lineaarsed esimest järku võrrandid on kaks tüüpi, mida saab lahendada otsese integreerimisega, andes lahendite pere, mida algtingimus kitsendab.

Fourier' rida esitab perioodilise funktsiooni siinuste ja koosinuste lõpmatu summana, tuginedes sellele, et need funktsioonid on üle ühe perioodi vastastikku ortogonaalsed — see sama ortogonaalsus annab igale kordajale kinnise integraalavaldise, mis ei sõltu ühestki teisest liikmest.

Funktsioon seab igale sisendile vastavusse täpselt ühe väljundi; seda saab pöördfunktsiooniga tagasi pöörata ainult siis, kui funktsioon on üksühene — just seepärast tuleb määramispiirkonda enne pöördfunktsiooni olemasolu sageli kitsendada.

Kompleksmuutuja funktsioon on erakordselt tugevas mõttes diferentseeruv — holomorfne — täpselt siis, kui selle reaal- ja imaginaarosa rahuldavad Cauchy-Riemanni võrrandeid, ja just see jäikus teeb kompleksanalüüsi palju võimsamaks kui selle reaalne vaste.

Greeni funktsioon G(x, ξ) on lineaarse operaatori vastus ühele punktimpulsile kohal ξ, mis on ehitatud üks kord ainult rajatingimuste põhjal — kui see on olemas, on sama operaatori lahendus suvalise lähteliikme f(x) korral lihtsalt integraal ∫G(x, ξ)f(ξ)dξ, mis muudab igasuguse tuleviku ülesande samade rajatingimustega otsimiseks ja integreerimiseks, mitte uueks tuletuseks.

Hüpoteeside kontrollimine algab eeldusest, et nullhüpotees kehtib, arvutab teststatistiku, mis mõõdab, kui kaugele valim sellest eeldusest hälbib, ning lükkab nullhüpoteesi tagasi ainult siis, kui see hälve oleks juhuslikkusega liiga ebatõenäoliselt seletatav — see saab nullhüpoteesi ümber lükata, kuid ei tõesta seda kunagi õigeks, vaid ainult ei lükka tagasi.

Päratu integraal laiendab kindla integraali lõpmatu integreerimispiiriga või intervalli sees tõkestamata alusfunktsiooniga juhtudele; tal on väärtus ainult siis, kui vastav harilike integraalide piirväärtus tegelikult koondub, mitte lihtsalt seetõttu, et alusfunktsioon kahaneb.

Lõpmatu rida on selle osasummade piirväärtus; rida koondub ainult siis, kui need summad settivad mingile väärtusele, ning liikmete kahanemine nullini on selleks vajalik, kuid kaugeltki mitte piisav.

Osatuletistega diferentsiaalvõrrand seob mitme muutuja funktsiooni tema oma osatuletistega, seega on lahend funktsioon, mitte arv; soojusvõrrand, lainevõrrand ja Laplace'i võrrand on kolm arhetüüpi, mida on kasulik esimesest pilgust tunda, kuna igaüks käitub kvalitatiivselt erinevalt ja kirjeldab erinevat füüsikalist protsessi.

Laplace'i teisendus kirjutab aja funktsiooni ümber komplekssageduse muutuja s funktsioonina, muutes tuletised korrutamiseks s-ga — nii muutub antud algtingimustega lineaarne diferentsiaalvõrrand algebraliseks võrrandiks, mille saab lahendada tavalise algebraga ja seejärel tagasi teisendada.

Laurent' rida üldistab Taylori rida, lubades (z − z₀) negatiivseid astmeid, mis on täpselt see, mida on vaja funktsiooni esitamiseks punkti ümber, kus see ei ole holomorfne; nende negatiivsete astmete liikmete muster liigitab eripunkti kõrvaldatavaks (ühtki liiget), lõpliku järjekorra pooluseks (lõplikult palju liikmeid) või olemuslikuks (lõpmatult palju liikmeid) — ja ainult olemuslik juhtum lööb läbi kõik algebralised nipid seal piirväärtuse arvutamiseks.

Funktsiooni piirväärtus punktis on väärtus, millele selle väljundid lähenevad, kui sisend punktile läheneb, sõltumata sellest, kas funktsioon on seal üldse määratud — just see teeb piirväärtusest õige vahendi hetkeliste muutumiskiiruste kirjeldamiseks.

Sirge ruumis on määratud punkti ja sihivektoriga, tasand punkti ja normaalvektoriga — ning kui mõlemad on nii kirja pandud, taanduvad lõikumise, kauguse ja nurga küsimused skalaar- ja vektorkorrutisteks.

Maatriks on ristkülikukujuline arvutabel, mis kodeerib lineaarteisenduse; maatriksite korrutamine liidab need teisendused järjestikku, mistõttu see ei ole kommutatiivne.

Kaksik- või kolmikintegraal kogub suuruse üle tasandi- või ruumipiirkonna, integreerides üht muutujat korraga, kusjuures sisemise integraali rajad kirjeldavad piirkonna kuju.

Funktsiooni f(x, y) tingimusteta lokaalne ekstreemum saab tekkida ainult seal, kus kõik osatuletised on null, ning teise tuletise (Hesse maatriksi) test eristab seejärel maksimumi, miinimumi ja sadulpunkti; kui otsing on piiratud tingimusega g(x, y) = c, asendab Lagrange'i meetod selle tingimuse võrdusega ∇f = λ∇g — geomeetriline fakt, et piiratud ekstreemumis on f taseme joon g kõveraga puutuja.

Osatuletis mõõdab, kuidas mitme muutuja funktsioon muutub, kui üks muutuja liigub ja ülejäänud hoitakse kinni, mistõttu on pinnal igas suunas eri tõus ja selle kirjeldamiseks on vaja mitut tuletist.

Punkthinnang on üksainus arv, mis arvutatakse valimist tundmatu populatsiooniparameetri esindamiseks, kuid see on peaaegu mitte kunagi täpselt õige; vahemikhinnang esitab selle ümber vahemiku — mis on üles ehitatud valimi omast varieeruvusest —, mis sisaldaks tõelist parameetrit teatud osas korduvatest valimitest, ning see on aus viis öelda, kui palju punkthinnangut usaldada.

Kompleksarvu kirjutamine mooduli ja argumendi kaudu reaal- ja imaginaarosa asemel muudab korrutamise pikkuste korrutamiseks ja nurkade liitmiseks ning Euleri valem surub kogu mõtte kujusse re^(iθ).

Tõenäosus omistab igale tulemile arvu vahemikus 0 kuni 1; sündmuste ühendamise reeglid sõltuvad sellest, kas need on teineteist välistavad ja kas need on sõltumatud — need on eri küsimused eri kontrollidega.

Juhuslik suurus seab igale tulemile vastavusse arvu ja selle jaotus näitab, kuidas see arv on jaotunud; keskväärtus ja dispersioon võtavad jaotuse kokku ning normaaljaotus tekib alati, kui paljud väikesed mõjud liituvad.

Jäägiteoreem ütleb, et funktsiooni integraal suletud kontuuri ümber võrdub 2πi korda selle jääkide summa — üksainus arv, mis on seotud iga kontuuri sisse jääva isoleeritud eripunktiga —, muutes integraalid, mis on reaalmuutuja meetoditega raskesti või üldse mitte leitavad, käputäie jääkide leidmise algebraliseks ülesandeks.

Konstantsete kordajatega lineaarne teist järku diferentsiaalvõrrand lahendatakse, asendades katselise eksponentsiaalse lahendi, muutes diferentsiaalvõrrandi algebraliseks karakteristlikuks võrrandiks, mille juured määravad, kas üldlahend on reaalsete eksponentide summa, üksik korduv eksponent korrutatuna polünoomteguriga, või võnkuv eksponent — täpselt see matemaatika, mis on füüsikas summutatud ja sundvõnkumiste taga.

Muutujate eraldamise meetod eeldab osatuletistega diferentsiaalvõrrandi lahendit üksikute muutujate funktsioonide korrutisena, mis muudab osatuletistega võrrandi mitmeks ühise konstandiga seotud harilikuks diferentsiaalvõrrandiks; tekkiv rajaväärtusülesandega harilik diferentsiaalvõrrand on Sturm-Liouville'i ülesanne, mille omaväärtused annavad lubatud eraldamiskonstandid ja mille omafunktsioonid moodustavad täieliku ortogonaalse baasi üldlahendi ritta koostamiseks.

Lineaarvõrrandisüsteemil on kas täpselt üks lahend, mitte ühtegi või lõpmata palju — ja mitte kunagi muud arvu — ning Gaussi meetod otsustab, milline juht kehtib, andes ühtlasi lahendi.

Tensor üldistab vektoreid ja maatrikseid objektiks, millel võib olla suvaline arv indekseid ja mis teisendub koordinaatide muutumisel kindlal, ennustataval viisil; kõverjoonelised süsteemid, nagu polaar- või sfäärilised koordinaadid, vajavad seda aparaati, kuna nende alusvektorid muudavad punktist punkti suunda, mistõttu gradiendil, divergentsil ja rootoril tekivad lisaliikmed, mis Descartes'i sirgjoonelistes koordinaatides kaovad.

Kahe ruumivektori vektorkorrutis on kolmas vektor, mis on mõlemaga risti, mille pikkus võrdub nende poolt moodustatud rööpküliku pindalaga ja mille suuna määrab parema käe reegel.

Määratud integraal on õhukeste ribade summa piirväärtus, mis annab kogunenud koguse, näiteks pindala või töö; Newton-Leibnizi valem laseb selle arvutada mistahes algfunktsiooni abil.

Funktsiooni tuletis punktis on selle diferentssuhte piirväärtus — hetkeline muutumiskiirus, mis võrdub sealse puutuja tõusuga.

Gaussi teoreem teisendab välja divergentsi ruumalaintegraali vooguks läbi ümbritseva pinna ja Stokesi teoreem teisendab välja rootori pindalaintegraali tsirkulatsiooniks ümber piirava kõvera — mõlemad on matemaatilise analüüsi põhiteoreemi üldistused väljadele.

Skalaarkorrutis korrutab kaks vektorit üheks arvuks, mis näitab, kui palju need osutavad ühes suunas — see on null täpselt siis, kui vektorid on risti, mistõttu on see standardne täisnurga kontroll.

Integreerimine pöörab tuletise võtmise ümber, taastades funktsioonide pere, mis erinevad ainult konstandi poolest — just seepärast kannab iga määramata integraal liiget +C.

Vektorväli seab igale ruumipunktile vastavusse vektori; skalaarvälja gradient on vektorväli, mis osutab kõige järsema kasvu suunas, ja see on alati risti välja nivoopindadega.

Vektorruum on mistahes hulk, mille elemente saab tavareeglite järgi liita ja skalaariga korrutada; vektorite hulk on lineaarselt sõltumatu, kui ükski neist ei ole teiste kombinatsioon, ning sõltumatu moodustajate hulk on baas, mille suurus ongi mõõde.

Vektoril ruumis on nii pikkus kui ka suund, koordinaatides kirjutatakse see järjestatud kolmikuna ja liitmine käib komponentide kaupa — nii muutub kolmemõõtmeline geomeetria arvutamiseks.

Vahelduvvooluahelas takistavad takistid, kondensaatorid ja induktiivpoolid voolu impedantsiga, mis ühendab takistuse sagedusest sõltuva reaktantsiga, mistõttu vool ja pinge võivad teineteise suhtes faasist väljas olla.

Aerosool on õhus hõljuvad tahked või vedelad osakesed ja peaaegu kõik nende juures tuleneb suurusest: üle mõne mikromeetri osakesed settivad minutitega, alla mikromeetri jäävad õhku päevadeks ning neid kannavad õhuvoolud ja Browni liikumine, mitte raskusjõud, ja ainult väikesed jõuavad sügavale kopsu — just seepärast on õhukvaliteedi piirnormid kirjutatud PM10 ja PM2,5 kohta, mitte massi kohta üldiselt. Nende mõõtmine tähendab valikut, milline füüsikaline efekt suurust esindab: kas kaalutakse filtrile kogunenut, loendatakse hajunud valguse impulsse osake haaval või loetakse nõrgenemist, kusjuures igaüks vastab eri küsimusele ja need võivad omavahel lahku minna.

Ampère'i seadus ütleb, et magnetvälja tsirkulatsioon ümber mistahes kinnise kontuuri on võrdeline sellest läbiva elektrivooluga, andes Gaussi teoreemi magnetvälja vaste ning pärast Maxwelli parandust poole elektromagnetlaine võrrandist.

Maa atmosfäär ja ookeanid on mõlemad vedelikud, mida raskusjõud hoiab hüdrostaatilises tasakaalus, mistõttu rõhk ja tihedus kahanevad õhus kõrgusega ligikaudu eksponentsiaalselt ning kasvavad vees sügavusega; kuna õhk allub ideaalse gaasi seadusele, paisub tõusev õhupakett ja teeb tööd ümbritseva madalama rõhu vastu, jahtudes adiabaatiliselt isegi ilma soojusvahetuseta — sellepärast läheb troposfäär kõrgusega külmemaks —, samas kui ookeanis määravad temperatuur ja soolsus koos vee tiheduse ning korrastavad selle stabiilseteks kihtideks, mitte üheks ühtlaselt segunenud temperatuuriks.

Aatomil on väike, tihe ja positiivselt laetud tuum, mis koosneb prootonitest ja neutronitest, ning seda ümbritsevad elektronid; sama elemendi erineva neutronite arvuga aatomeid nimetatakse isotoopideks.

Kui aatomid seonduvad kristalliks, laienevad nende diskreetsed aatomi energianivood pidevateks lubatud energiavöödeks, mida eraldavad keelatud vahed, ja see, kas materjal juhib, poolestjuhib või isoleerib, on täielikult määratud sellega, kuidas need vööd on elektronidega täidetud ja kui suur on vahe kõrgeima täidetud vöö ja järgmise tühja vöö vahel.

Molekuli täielik Schrödingeri võrrand seob kokku igas elektroni ja igas tuuma liikumise, mis on otse lahendamatu — Born-Oppenheimeri lähendus kasutab tuumade ja elektronide vahelist suurt massivahet, et need eraldi lahendada: elektronid kohanevad tuumade asenditega sisuliselt kohe, andes potentsiaalse energia pinna, millel palju raskemad ja aeglasemad tuumad seejärel võnguvad ja pöörlevad, kusjuures kumbki liikumine on kvantiseeritud oma diskreetsete energiatasemete jadaks.

Kui kaks veidi erineva sagedusega lainet kattuvad, võimendavad ja tühistavad need vaheldumisi teineteist, tekitades valjuse aeglase pulseerimise, mida nimetatakse taktideks ja mille sagedus võrdub lihtsalt kahe sageduse vahega.

Mööda voolava vedeliku joonvoolu jääb rõhu, ruumalaühiku kineetilise energia ja ruumalaühiku raskusjõu potentsiaalse energia summa muutumatuks — kus vedelik kiireneb, seal peab rõhk langema.