Determineeritud kaos ja Ljapunovi eksponendid
Kaos on see, mida teeb täielikult determineeritud süsteem, mille lähedased olekud eemalduvad teineteisest eksponentsiaalselt kiiresti: võrrandites ei ole kusagil juhuslikkust, ent kaks algtingimust, mis erinevad kümnendas kohas pärast koma, satuvad täiesti erinevatele trajektooridele. Ljapunovi eksponent mõõdab seda kiirust — väike hälve kasvab ligikaudu eksponentsiaalselt eksponendi ja kulunud aja korrutise järgi, nii et selle pöördväärtus annab ajaskaala, millel ennustatavus kaob — ning just positiivne eksponent koos tõkestatuks jääva liikumisega eristab tõelist kaost süsteemist, mis lihtsalt kaugeneb; seetõttu on ilmal päevades mõõdetav ennustushorisont, ükskõik kui heaks mõõteriistad ka ei muutu.
Practise this conceptKäivita kaootiline süsteem kaks korda täpselt samast algolekust ja saad täpselt sama trajektoori: võrrandites ei ole midagi juhuslikku. Käivita see kahest olekust, mis erinevad miljondiku millimeetri võrra, ja need kaks langevad mõnda aega kokku, seejärel eemalduvad teineteisest, kuni neil ei ole enam midagi ühist. Selles kogu kaos seisnebki — determineeritud reeglid pluss naabrite vahe, mis kasvab eksponentsiaalselt, mitte ühtlaselt.
Ljapunovi eksponent on selle eksponentsiaalse kasvu kiirus: väike algne hälve korrutatakse arvuga e astmes eksponent korda kulunud aeg, nii et eksponendi pöördväärtus ütleb umbkaudu, kui kaua läheb väikesel veal kolmekordistumiseks. Kõige rohkem loeb märk. Negatiivne tähendab, et lähedased olekud lähenevad ja liikumine on ennustatav; null tähendab, et need eemalduvad vaid võrdeliselt ajaga; positiivne tähendab, et süsteem unustab oma algtingimuse kindla kiirusega. Kaks täpsustust hoiavad määratluse ausana. Eksponent on keskmine üle atraktori, sest venitamise kiirus on selle eri punktides erinev, ja eksponentsiaalne seadus kirjeldab ainult kasvu algusfaasi — niipea kui hälve on atraktori enda mõõtmetega võrreldav, on kaks trajektoori lihtsalt kaks omavahel seostamata punkti samal objektil ja vahe ei saa enam suureneda.
Just see tõkestatus eristab kaost tavalisest ebastabiilsusest. Ka mäetipul tasakaalus oleval pallil on positiivne eksponent, kuid ta veereb minema ega tule kunagi tagasi, samal ajal kui kaootiline süsteem voldib end pidevalt tagasi, venitades ühes suunas ja surudes kokku teises — see ehitabki veidra atraktori kihilise struktuuri. Praktiline järeldus on ennustushorisont. Vead kuhjuvad korrutamise teel, täpsust ostetakse aga liitmise teel: algoleku sada korda täpsem mõõtmine pikendab kasulikku prognoosi saja naturaallogaritmi võrra jagatuna eksponendiga ehk kindla arvu päevade võrra, mitte sada korda. Seetõttu võidab ilmamudel, mille eksponent on umbes pool päeva astmes miinus üks, tunduvalt paremast vaatlusvõrgust vaid nädalajagu täpsust, ja seetõttu ei anna ükski mõõteriist kunagi kasulikku kolme kuu prognoosi.
Key ideas
Requires: Bifurkatsioonid ja stabiilsuse kaotus
Formulas
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| kaugus | m (meeter) | |
| kaugus | m (meeter) | |
| Ljapunovi eksponent | 1/s (sekundi kohta) | |
| aeg | s (sekund) |
Common misconceptions
- Kaose samastamine juhuslikkusega. Kaootiline süsteem on determineeritud: käivita see kaks korda täpselt samast olekust ja see kordab end täpselt, ning võrrandites ei ole kusagil müraliiget. Ennustamatus tuleneb sellest, et olekut ei teata kunagi täpselt — tundlikkus käib algtingimuse, mitte peidetud täringute kohta.
- Positiivse Ljapunovi eksponendi mõistmine nii, nagu kasvaks liikumine ise üle iga piiri. Eksponentsiaalselt kasvab kahe lähedase trajektoori vahe, mitte trajektoorid ise: kaootiline liikumine jääb tõkestatud atraktorile ja eksponentsiaalne seadus kirjeldab väikese hälbe kasvu algusfaasis, lakates niipea, kui hälve on atraktori enda mõõtmetega võrreldav. Ka mäetipult veerema hakkaval pallil on positiivne eksponent ja kaootiline ta ei ole — just sellepärast, et ta ei tule kunagi tagasi.
- Eeldus, et täpsemad algandmed ostavad võrdeliselt rohkem ennustust. Kuna viga kasvab eksponentsiaalselt, ei korruta algoleku sada korda täpsem mõõtmine kasulikku ennustusaega sajaga — see lisab kindla ajavahemiku, saja naturaallogaritmi jagatuna Ljapunovi eksponendiga. Täpsus ostab aega liitmise teel, samal ajal kui viga kasvab korrutamise teel; just seepärast nihkub ennustushorisont mõõteriistade aastakümnete pikkuse paranemise jooksul edasi vaid päevade kaupa.
Resources
Kuulub nende TÜ ainete hulka
See mõiste on kaardistatud järgmis(t)e Tartu Ülikooli õppekava aine(te) osaliseks kattmiseks.
- Mittelineaarne dünaamikaLOFY.04.070