Bifurkatsioonid ja stabiilsuse kaotus

Võta mittelineaarse süsteemi võrrandid ja muuda neis üht parameetrit — jõuallika tugevust, vedelikukihi temperatuuride vahet, posti koormust. Peaaegu iga parameetri väärtuse juures ei anna väike muutus midagi huvitavat: püsipunktid nihkuvad pisut ja säilitavad senise stabiilsuse. Bifurkatsioon on üks neist üksikutest väärtustest, kus see enam ei kehti ja lahendite kvalitatiivne struktuur muutub.

Kolm juhtu katavad enamiku sellest, mida esimene kursus kohtab. Sadul-sõlme bifurkatsioonis lähenevad stabiilne ja ebastabiilne püsipunkt teineteisele, sulanduvad kokku ja kaovad — nii saab süsteemil statsionaarne olek üldse otsa ning ta on sunnitud mujale minema. Harkbifurkatsioonis jääb sümmeetriline olek paigale, kuid kaotab stabiilsuse kahele uuele olekule, mis on omavahel süsteemi enda sümmeetria kaudu seotud: kokkusurutud post on kuni kriitilise koormuseni sirge ja paindub sellest ülalpool vasakule või paremale, kusjuures poole valib mõni väike ebatäpsus, mitte võrrandid. Hopfi bifurkatsioonis läheb lahkuv stabiilsus hoopis võnkumisele: püsipunkt on endiselt alles, kuid süsteem tiirleb nüüd ümber selle väikesel kinnisel silmusel, mille amplituud kasvab parameetri suurenedes nullist. Nii saavad alguse südamerütmid, keemilised ostsillaatorid ja lennukitiiva flatter.

Praktikas loeb kõige rohkem vahe ülekriitilise ja alakriitilise juhu vahel. Ülekriitilisel juhul kasvab uus olek vanast pidevalt välja, nii et läve ületamine on tagasihoidlik ja pöörduv — keera parameeter tagasi ja süsteem tuleb sama teed tagasi. Alakriitilisel juhul on ülevõttev haru kaugel, nii et süsteem hüppab, ja tagasiteel püsib ta uuel harul veel siis, kui vana haru lahkumiskoht on juba möödas: tekib hüsterees ja lävi, mis sõltub sellest, kummalt poolt sellele läheneti. Oskus diagrammilt välja lugeda, kummaga on tegu, teebki vahe konstruktsioonil, mis annab järele tasapisi, ja sellel, mis kukub kokku korraga.