Kanoonilised teisendused ja Hamilton-Jacobi teooria

Hamiltoni mehaanika annab juba palju vabadust selles, kuidas süsteemi kirjeldada, kuid mitte iga asukoha- ja impulsimuutujate vahetus ei ole lubatud. Kanooniline teisendus on selline, mis säilitab Hamiltoni võrrandite väljanägemise täpselt Hamiltoni võrranditena uute koordinaatide korral — see säilitab aluseks oleva struktuuri (Poissoni sulud), kuigi uued koordinaadid ei pruugi tuttaval kujul asukohale ja impulsile üldse sarnaneda.

See vabadus osutub tohutuks. Kõigi antud süsteemi jaoks võimalike kanooniliste teisenduste seas on (kohalikult) üks, mis muudab uue Hamiltoni funktsiooni kõikjal identselt nulliks. Kui uus Hamiltoni funktsioon on null, ütlevad Hamiltoni võrrandid, et uued koordinaadid ei muutu ajas üldse — need on konstandid, määratud süsteemi alustingimustega. Selle konkreetse teisenduse genereeriva funktsiooni leidmine on Hamilton-Jacobi võrrandi sisu, üks esimest järku osatuletistega diferentsiaalvõrrand vanade koordinaatide ja aja suhtes.

See raamistab ülesande täielikult uuesti. Selle asemel, et lahendada seotud harilike diferentsiaalvõrrandite süsteem asukoha ja impulsi ajalise arengu jaoks, lahendatakse üks osatuletistega diferentsiaalvõrrand ühe funktsiooni jaoks, ja liikumine langeb selle tuletistest algebraliselt välja — edasist integreerimist ei ole vaja. See on üldise ülesande jaoks harva kõige lihtsam tee, kuid piisava sümmeetriaga süsteemide korral lahutub see kaunilt üheks harilikuks võrrandiks iga koordinaadi kohta, ja see on tee, mis kandub kõige otsesemalt üle WKB lähenduseks ja sealt edasi kvantmehaanikaks.

Üks asi, mida meeles pidada: Hamiltoni funktsiooni nulliks muutmine on konkreetne, maksimaalselt ambitsioonikas eesmärk kanooniliste teisenduste üheks kasutusviisiks. Teisendusi ise kasutatakse palju laiemalt — koordinaatide lihtsustamiseks või perioodilisele liikumisele sobivatele muutujatele üleminekuks — ilma et Hamiltoni funktsiooni peaks iga kord täielikult nulliks viima.