Hamiltoni mehaanika

Lagrange'i mehaanika kirjeldab süsteemi asukoha ja kiirusega, tekitades ühe teist järku diferentsiaalvõrrandi iga koordinaadi kohta — võrrandi, mis sisaldab kiirendust, mis tähendab, et selle lahendamiseks on iga koordinaadi kohta vaja kahte algteavet (asukoht ja kiirus). Hamiltoni mehaanika teeb muutujate vahetuse, vahetades kiiruse impulsi vastu, ja kasu seisneb selles, et iga üksik teist järku võrrand jaguneb kaheks esimest järku võrrandiks: üks ütleb, kuidas asukoht ajas muutub, teine, kuidas impulss seda teeb. Füüsikaliselt ei ole midagi erinevat — kummalgi viisil arvutatud trajektoor on identne —, kuid matemaatiline struktuur muutub sümmeetrilisemaks ja paljudel eesmärkidel paremini käsitletavaks.

Siin kasutatav impulss, mida nimetatakse kanooniliseks ehk üldistatud impulsiks, on defineeritud otse Lagrange'i funktsioonist, mitte eelnevalt eeldatud, ja see ei taandu alati tuttavale massi ja kiiruse korrutisele. Näiteks magnetväljas oleva laetud osakese jaoks sisaldab kanooniline impulss panust väljast endast, mitte ainult liikumisest — vahe, mis loeb tohutult, kui kvantmehaanika ehitatakse üles sellelesamale alusele.

Keskne objekt, Hamiltonian H, asendab Lagrange'i funktsiooni ja võrdub enamiku tavaliste süsteemide korral koguenergiaga, kineetiline pluss potentsiaalne. See samastamine ei ole kaunistus: Hamiltoni võrrandid näitavad, et H ongi sõna otseses mõttes ajalise arengu generaator — funktsioon, mille tuletised ütlevad igale koordinaadile ja impulsile, kuidas järgmisena muutuda. See ümbermõtestamine, energia kui mootor, mis veab süsteemi ajas edasi, mitte lihtsalt jääv kõrvalseisja suurus, teebki Hamiltoni mehaanikast sõnastuse, mis kandub kõige otsesemalt üle kvantmehaanikasse, kus Hamiltonian mängib Schrödingeri võrrandis täpselt sama genereerivat rolli.