Kompleksarvud

Reaalarvudes on auk: võrrandil x² + 1 = 0 ei ole nende hulgas lahendit. Kompleksarvud sulgevad selle, kuulutades välja arvu i, mille i² = −1, ja jätkates seejärel tavalise algebraga. Iga kompleksarv on siis a + bi, kus a on reaalosa ja b imaginaarosa, ning liitmine ja korrutamine järgivad tavalisi reegleid, asendades i² kõikjal, kus see esineb, arvuga −1.

Sõna "imaginaarne" on ajalooline juhus ja on teinud tõelist kahju. See vihjab, et need arvud on väljamõeldud viisil, nagu negatiivsed arvud seda ei ole — kuid negatiivsetele arvudele pandi omal ajal vastu täpselt samadel alustel. Praktiline vastus on, et kompleksarvud kirjeldavad füüsikalisi asju igapäevaselt: vahelduvvoolu impedants, laine amplituud ja faas koos ning kvantmehaaniline lainefunktsioon on kõik loomupäraselt kompleksed ja just see aritmeetika teeb need arvutused jõukohaseks.

Kaks tõelist erinevust reaalarvudest tasub teada. Järjestust ei ole: küsimusel, kas 2 + 3i on suurem kui 3 + 2i, ei ole aritmeetikaga kooskõlas olevat vastust ja küsimus lihtsalt ei kohaldu. Võrrelda saab moodulit |a + bi| = √(a² + b²), mis on kaugus alguspunktist, kui arv joonistada punktina (a, b) — just seepärast on see arvu 3 + 4i jaoks √(3² + 4²) = 5, mitte 3 + 4. See pilt, komplekstasand, muudab kompleksaritmeetika tasandigeomeetriaks ja sealt tulebki polaarkuju.