Polaar- ja eksponentkuju

Joonista kompleksarv punktina (a, b) ja seda saab kirjeldada kahel viisil: selle koordinaatidega või sellega, kui kaugel see on alguspunktist ja mis suunas. Teine paar — moodul r ja argument θ — annab polaarkuju r(cos θ + i sin θ) ning Euleri valem surub selle kujusse re^(iθ).

Kasu tuleb korrutamisest. Kujul a + bi on kahe kompleksarvu korrutamine neljaliikmeline avaldamine. Polaarkujul on see: korruta moodulid, liida argumendid. Mooduliga 1 kompleksarvuga korrutamine on seega puhas pööramine ja just seepärast on kompleksarvud loomulik keel kõige perioodilise jaoks — vahelduvvool, võnkumised, lained. Astendamine tuleneb kohe de Moivre'i valemina r^n(cos nθ + i sin nθ), muutes tülika korduva korrutamise üheks sammuks.

Kaks üksikasja panevad komistama. Argument ei ole üheselt määratud: 2π liitmine nimetab sedasama arvu, seega on igal kompleksarvul lõpmata palju argumente ja üheainsa vastuse vajaduse korral tuleb valida peaväärtus. Ja vastupidises suunas — n-järku juure võtmisel — muutub see paljusus nähtavaks: argumendi jagamine n-ga ja 2π/n kaupa ringi astumine annab täpselt n erinevat juurt, mis on ringil ühtlaselt jaotunud. Just juured tulevad n eksemplaris, mitte astmed.