Vähimruutude sobitus ja lineaarne regressioon

Antud mõõdetud andmepunktide hulgale, mille kohta teooria kohaselt eeldatakse, et need asuvad sirgel, on praktiline probleem leida konkreetne sirge — konkreetne tõus ja lõikepunkt —, mis andmeid kõige paremini esindab. Sirge "silma järgi" joonestamine on subjektiivne: erinevad inimesed, kellele on antud sama punktide hajumine, joonestavad veidi erinevaid sirgeid ja sellisel viisil valitud sirgele ei ole võimalik omistada sisukat määramatust.

Vähimruutude meetod asendab selle subjektiivse hinnangu objektiivse matemaatilise kriteeriumiga. Iga kandidaatsirge jaoks saab arvutada vertikaalse kauguse (jäägi) iga andmepunkti ja sirge vahel; vähimruutude kriteerium valib konkreetse tõusu ja lõikepunkti, mis minimeerivad kõigi nende jääkide ruutude summat. Jääkide ruutu tõstmine enne summeerimist teenib kahte eesmärki: see muudab iga liikme positiivseks, nii et positiivsed ja negatiivsed kõrvalekalded ei tühista üksteist ega peida halba sobitust, ja see karistab suuri kõrvalekaldeid rangemalt kui väikseid, seega on sobitus eriti tundlik punktide suhtes, mis asuvad üldisest trendist kaugel. Sellel minimeerimisprobleemil on sirge jaoks suletud kujul algebraline lahend, seega saab parima sobivusega tõusu ja lõikepunkti arvutada otse andmetest, mitte leida katse-eksituse teel.

Kuna vähimruutude protseduur on hästi määratletud arvutus, mitte subjektiivne hinnang, annab see sama tulemuse iga kord, kui seda samadele andmetele rakendatakse, ja — mis on oluline — see annab ka valemid sobitatud tõusu ja lõikepunkti enda määramatuse jaoks, tuginedes sellele, kui hajutatud andmepunktid parima sobivusega sirge ümber on. Tihe punktide kobar sobitatud sirge lähedal annab väikesed määramatused sobitusparameet- rites; lai hajumine annab suured. See ongi see, mis lubab eksperimenteerijal esitada mitte lihtsalt "tõus on umbes selline" vaid kvantitatiivse, põhjendatava väärtuse koos oma määramatusega, ning hinnata kvantitatiivselt — selle kaudu, kui hästi sobitus tegelikult andmetega kokku langeb — kas eeldatud lineaarne seos (sageli saadud mittelineaarse füüsikaseaduse lineariseerimise kaudu) on mõõtmiste poolt tegelikult toetatud.