Liouville'i teoreem ja faasiruum

Faasiruum on ruum kõikidest võimalikest asend-ja-impulsi hetkseisunditest, milles süsteem võiks olla. Üks süsteem on üks punkt selles ruumis; paljude identsete süsteemide kogum, mis alustab veidi erinevate tingimuste juures, on terve punktide pilv, ja aja möödudes voolab igaüks neist punktidest piki oma trajektoori vastavalt Hamiltoni võrranditele.

Liouville'i teoreem ütleb, et see voog käitub nagu kokkusurumatu vedelik: punktide tihedus mistahes punkti ümbruses ei muutu kunagi, kui seda edasi ajas jälgida. Väike algtingimuste pundar võib sirutuda, nihkuda ja voltuda suvaliselt pikaks, õhukeseks ja põimunud niidiks — tegelikud Hamiltoni süsteemid teevad just seda alati, kui dünaamika on kaootiline — kuid faasiruumi ruumala, mille see hõlmab, säilib täpselt. Kuju kohta ei kaitsta mitte midagi, ainult ruumala.

See on põhjus, miks tõenäosusjaotused faasiruumis käituvad korrapäraselt: kuna punkte ei tekitata ega hävitata ega pakita kokku, kantakse faasiruumi peal määratud tõenäosustihedus lihtsalt vooluga kaasa, selle asemel et vajada eraldi võrrandit jälgimiseks, kui "tihedaks" mingi piirkond muutub. See lahendab ka näiliselt vastuolulise küsimuse teise seaduse kohta — areneva süsteemi täpne, peentäpne faasiruumi ruumala ei kasva kunagi, kuid jämetäpne entroopia (mis ei suuda eristada suvaliselt peeneid niite) kasvab, kuna sama fikseeritud ruumala levib üha peenemalt jämeda võrgustiku peale.