Jaotusfunktsioon

Mitte iga mikroolek, mida süsteem võiks hõivata, ei ole antud temperatuuril võrdselt tõenäoline — väga kõrge energiaga mikroolek on eksponentsiaalselt vähem tõenäoline kui madala energiaga mikroolek, mida juhib Boltzmanni tegur e^(−E/kT). Jaotusfunktsioon, Z, on lihtsalt selle teguri summa üle iga kättesaadava mikroleku: Z = Σ e^(−Eᵢ/kT). See on üksainus arv (fikseeritud temperatuuri korral), mis pakendab ühte kohta selle, kuidas süsteemi energiatasemed on sellel temperatuuril asustatud — sellest ka nimi "jaotusfunktsioon": see kirjeldab, kuidas tõenäosus on jaotatud saadaolevate olekute vahel.

Z ise ei ole otseselt mõõdetav füüsikaline suurus ega anna sulle energiat ega entroopiat ilma edasise tööta. Selle tegelik jõud seisneb genereeriva funktsioonina: ln Z sobiva tuletise võtmine temperatuuri järgi annab keskmise energia; edasine manipuleerimine annab entroopia, vabaenergia, soojusmahtuvuse, sisuliselt iga huvipakkuva termodünaamilise suuruse, kõik tuletatud sellest ühest funktsioonist, selle asemel et arvutada iga kord eraldi esimestest põhimõtetest. Kui Z(T) on süsteemi jaoks teada, järgneb ülejäänud termodünaamika arvutuse teel, mitte iga suuruse nullist uuesti tuletamisega.

Just see teebki jaotusfunktsioonist statistilise mehaanika keskse objekti, mitte lihtsalt arvepidamise tööriista: see on sild mikroskoopilise kirjelduse (energiatasemed, mida süsteemi osakesed võivad hõivata) ja makroskoopiliste, mõõdetavate termodünaamiliste suuruste vahel, mida vanem, puhtalt klassikaline soojateooria suutis kirjeldada ainult empiiriliselt. Eri füüsikalistel süsteemidel — ideaalsel gaasil, tahkise võnkuvatel aatomitel, magneti spinnidel — on erinevad jaotusfunktsioonid, kuid sama mehhanism termodünaamika tuletamiseks Z-st kehtib nende kõigi jaoks ühtviisi.