Markovi ahelad ja mäluta omadus
Protsess on Markovi protsess siis, kui järgmise sammu tõenäosused sõltuvad ainult praegusest olekust, mitte teekonnast, mis sinna viis — kogu eellugu on juba selles, kus süsteem parasjagu on. Just see üksainus eeldus teeb juhusliku mudeli käsitletavaks: dünaamika taandub siirdetõenäosuste tabeliks, korduv rakendamine viib enamiku selliseid ahelaid statsionaarse jaotuseni, mis ei sõltu lähtekohast, ning detailse tasakaalu nõudmine selles jaotuses ongi see, kuidas Monte Carlo simulatsioon pannakse Boltzmanni jaotust genereerima. Radioaktiivne lagunemine, juhuslik ekslemine ja soojuslikult aktiveeritud hüpe kahe süvendi vahel on kõik Markovi protsessid; mäluga protsess, näiteks materjali väsimus, ei ole.
Practise this conceptKirjuta üles kõik, mida oleks vaja teada, et arvutada tõenäosused süsteemi järgmise sammu jaoks. Kui praegusest olekust piisab — kui teadmine, mis teed mööda sinna jõuti, ei lisa midagi — on tegu Markovi protsessiga. See on tugev eeldus ja see ei väida, et eellugu on tähtsusetu: just eellugu määras praeguse oleku. Öeldakse üksnes, et eellugu mõjub praeguse oleku kaudu, mitte sellest mööda.
Kasu seisneb selles, et dünaamika taandub siirdetõenäosuste tabeliks, üks rida iga oleku kohta, ja kõik ülejäänu tuleneb selle tabeli korduvast rakendamisest. Enamik praktiliselt huvipakkuvaid ahelaid liigub siis statsionaarse jaotuse poole — olekute tõenäosused lakkavad muutumast, kuigi üksikud süsteemid hüppavad edasi. See ongi tasakaal tõenäosuslikus mõttes: sissevool igasse olekusse tasakaalustab väljavoolu ja lähtekoht on ununenud. Kui kaua see unustamine aega võtab, on omaette küsimus, ja kahe piirkonna vahel kõrge barjääriga süsteemi puhul võib see olla palju pikem kui simulatsioon, mida kavatsesid teha.
Just seepärast on Markovi ahelad füüsikas tõsiselt kasutusel, mitte pelgalt mainitud. Radioaktiivne lagunemine on Markovi protsess ja täpselt seetõttu on vana tuum statistiliselt samasugune kui uus ning lagunemisseadus eksponentsiaalne. Soojuslikult aktiveeritud hüplemine potentsiaalisüvendite vahel on Markovi protsess, nii et sama masinavärk sobib ka difusiooniks kristallis. Ja kogu Monte Carlo meetod käib statsionaarsest jaotusest tagurpidi: vali siirdetõenäosused, mis rahuldavad Boltzmanni teguri suhtes detailset tasakaalu, lase ahelal joosta, ja külastatud olekud ongi valim termilisest ansamblist — nii muutub statistilise mehaanika ülesanne, mida ei anna integreerida, selliseks, mida saab simuleerida.
Key ideas
Requires: Juhuslikud ekslemised ja difusioon
Common misconceptions
- Sõna "mäluta" mõistmine tähenduses "minevik ei loe". Minevik loeb väga palju — just see viis süsteemi olekusse, milles ta on. Eeldus ütleb hoopis seda, et kui praegune olek on teada, ei muuda miski selle kohta, kuidas sinna jõuti, järgmise sammu tõenäosusi. Lagunemata tuum, mis on oodanud tuhat aastat, on samas olekus kui äsja tekkinud tuum, nii et tema tõenäosus järgmise sekundi jooksul laguneda on sama.
- Arvamus, et statsionaarse jaotuseni jõudnud ahel on muutumise lõpetanud. Üksikud süsteemid hüppavad olekute vahel täpselt nagu varem; muutumise on lõpetanud tõenäosus leida süsteem igast olekust, sest sissevool igasse olekusse võrdub nüüd väljavooluga. Tasakaalus gaas on samast mõttest: muutumatud makroskoopilised arvud ja nende all lakkamatu mikroskoopiline liiklus.
- Eeldus, et iga mäluga protsess jääb sellest raamistikust välja. Tavaliselt tähendab see üksnes, et olek võeti liiga kitsas: eksleja, kelle järgmine samm sõltub eelmisest, ei ole Markovi protsess ainuüksi asukoha suhtes, kuid on seda asukoha ja viimase sammu suhtes koos. Oleku laiendamine seni, kuni tulevik ei sõltu enam millestki muust, ongi tavapärane võte ning hinnaks on suurem olekuruum, mitte teistsugune teooria.
Resources
Kuulub nende TÜ ainete hulka
See mõiste on kaardistatud järgmis(t)e Tartu Ülikooli õppekava aine(te) osaliseks kattmiseks.
- Stohhastika füüsikuteleLOFY.04.052