Mitteholonoomsed seosed ja Lagrange'i kordajad
Seost, mida saab kirjutada üksnes koordinaatide vahelise seosena (holonoomne), saab lihtsalt kasutada koordinaadi eemaldamiseks enne Lagrange'i funktsiooni koostamist, kuid kiiruste kohta käivat seost, mida ei saa sellisesse koordinaatide vahelisse seosesse integreerida (mitteholonoomne, näiteks libisemiseta veeremine üldjuhul), ei saa — see peab jääma otsesõnu sisse ja seda tuleb jõustada Lagrange'i kordajaga, mis osutub võrduma seosjõuga ise.
Practise this conceptEnamik seoseid, mida Lagrange'i mehaanika õppimise algul kohtab, on kerget sorti: helmes traadil, pendli kuul kinnitatud kaugusel oma pöördepunktist. Neid saab kirjutada lihtsa seosena koordinaatide vahel — helme kõrgus on funktsioon sellest, kui kaugele on ta traati mööda liikunud — nii et selle seose saab lihtsalt sisse asendada ja lahendada ühe koordinaadi vähem. Sellist seost nimetatakse holonoomseks ja see kaob puhtalt.
Veerev ratas on erinev. Libisemiseta veeremine ütleb, et kontaktpunkti kiirus on null, mis seob ratta lineaarkiiruse tema pöördekiirusega. See on seos kiiruste vahel, ja üldjuhul ei saa seda integreerida tagasi üheks seoseks üksnes asukohakoordinaatide vahel — ei ole olemas sellist asukoha funktsiooni, mille tuletis annaks selle tingimuse igal võimalikul teel, mida ratas läbida võib. Selline seos on mitteholonoomne ja seda ei saa kasutada koordinaadi vaikselt eemaldamiseks.
Lahendus on hoida seos otsesõnu sees ja lisada see ülesandele täiendava tundmatuga: Lagrange'i kordajaga, üks iga seose kohta. Tulemuseks on tavalised Euler-Lagrange'i võrrandid, millele lisandub kordaja liige, ning seosvõrrand ise, ja need kõik lahendatakse koos. Selle täiendava raamatupidamise tasu ei ole üksnes õigsus — leitud kordaja osutub võrduma tegeliku seosjõuga (näiteks veeremistingimust jõustava hõõrdejõuga) kuni otseselt loetava geomeetrilise teguri võrra. Tavaline seosevaba Lagrange'i mehaanika viskab seosjõud kõrvale kui ebaolulised; see metoodika annab need tagasi.
Lõksud on protseduurilised. Seose sisse panek varakult, nagu holonoomse seose korral, annab mitteholonoomse seose puhul lihtsalt valed liikumisvõrrandid — tehtejärjekord (esmalt diferentseeri, seosta pärast, kordaja kaudu) ei ole siin valikuline, nagu on holonoomse juhtumi puhul.
Key ideas
Requires: Lagrange'i mehaanika
Common misconceptions
- Arvamus, et iga kiirusi sisaldav seos on automaatselt mitteholonoomne. Palju kiirusseoseid on varjatult holonoomsed — need on koordinaatide seose tuletis aja järgi peidetud kujul ja saab siiski integreerida tagasi koordinaatide vaheliseks seoseks, eemaldades koordinaadi tavapärasel viisil. Seos väärib nimetust mitteholonoomne ainult siis, kui sellist integreerimist ei eksisteeri.
- Lagrange'i kordaja käsitlemine üksnes arvestustrikina, millel puudub füüsikaline sisu, selle asemel, et tunnistada, et see võrdub tegeliku seosjõuga (näiteks normaaljõuga või hõõrdejõuga, mis jõustab libisemiseta veeremist) kuni teadaoleva geomeetrilise teguri võrra — see on täpselt see, mis lubab metoodikal lahendada seosjõude, mille tavaline seosevaba Lagrange'i mehaanika kõrvale jätab.
- Arvamus, et seosvõrrandi saab lihtsalt Lagrange'i funktsiooni sisse panna enne diferentseerimist (kõigepealt koordinaat eemaldada, siis rakendada Euler-Lagrange'i võrrandit tavapäraselt) samamoodi nagu holonoomse seose korral. Mitteholonoomse seose puhul annab see valed liikumisvõrrandid — seos tuleb lisada oma kordaja liikmega ja jõustada tagantjärele, koos seosevabade Euler-Lagrange'i võrranditega, mitte asendada eelnevalt.
Resources
Kuulub nende TÜ ainete hulka
See mõiste on kaardistatud järgmis(t)e Tartu Ülikooli õppekava aine(te) osaliseks kattmiseks.
- Analüütiline mehaanikaLTFY.04.016