Noetheri teoreem ja sümmeetriad

Iga jäävusseadus mehaanikas võib näida eraldiseisva juhusena: energia juhtub säilima, impulss juhtub säilima, impulsimoment juhtub säilima. Noetheri teoreem näitab, et need ei ole üldse eraldiseisvad — igaüks neist on selle sümmeetria vari, mis Lagrange'i funktsioonil juba on.

Sümmeetria tähendab siin pidevat muutust koordinaatides, mis jätab Lagrange'i funktsiooni väärtuse muutumatuks. Nihuta kõik süsteemi osakesed sama vahemaa võrra ruumis, ja kui füüsika ei sõltu absoluutsest asukohast, jääb Lagrange'i funktsioon puutumata — see sümmeetria on täpselt see, mis sunnib impulssi säilima. Lase kogu katse alata sekund hiljem, muidu midagi muutmata, ja kui Lagrange'i funktsioon ei hooli, mis kell on, säilib energia. Pööra süsteem jäigalt suvalise nurga võrra, ja kui Lagrange'i funktsioon jääb muutumatuks, säilib impulsimoment. Teoreem muudab iga sellise "kui"-lause kindlaks garantiiks: pidev sümmeetria sisse, säiliv suurus välja, ilma eraldi eelduseta.

Sõna "pidev" teeb siin tegelikku tööd. Sümmeetria peab tulema parameetriga, mida saab sujuvalt seada — nurk, nihe, ajanihe — mitte ühekordse pöördega, nagu peegelpeegeldus. Diskreetsed sümmeetriad on reaalsed ja kasulikud, kuid need ei sobitu just sellesse teoreemisse; need ilmuvad füüsikas täiesti teiste vahendite kaudu.

Samuti on see konkreetselt Lagrange'i funktsiooni sümmeetria, mitte trajektoori, mida süsteem tegelikult läbib. Nurga all visatud pall joonistab ebasümmeetrilise paraboolikuju, milles pöördesümmeetriat üldse ei ole, ning ometi on selle Lagrange'i funktsioon — kineetiline miinus potentsiaalne energia, asukoha ja kiiruse funktsioonina — täpselt nii ajanihke suhtes sümmeetriline kui iga teine vabalanguse ülesanne, ning seetõttu säilib energia ka sellel kohmakal trajektooril.