Lagrange'i mehaanika

Newtoni mehaanika nõuab, et tuvastaksid iga jõu, kaasa arvatud need, mis on olemas ainult süsteemi koos hoidmiseks — rööpa tugijõud, jäiga varda tõmme, hinge reaktsioonijõud. Need seosejõud on alguses tavaliselt tundmatud, ei tee tööd ega paku vastuses huvi, ometi tuleb need välja arvutada. Lagrange'i mehaanika on ümbersõnastus, mis lubab need täielikult vahele jätta.

Võte seisneb selles, et kirjeldad süsteemi täpselt nii mitme koordinaadiga, kui palju sel on tegelikke vabadusi, ja mitte rohkemaga: pendli jaoks üks nurk, helme jaoks üks kaugus mööda rööbast. Seejärel moodusta Lagrange'i funktsioon L = T − V, kineetiline energia miinus potentsiaalne energia. Miinusmärk on oluline ja selle unustamine on kõige tavalisem eksimus — L ei ole koguenergia. Kui L asetada Euler-Lagrange'i võrrandisse, annab see iga koordinaadi kohta ühe liikumisvõrrandi, kust seosejõud on juba kadunud.

Tegu ei ole konkureeriva teooriaga. Iga ülesande puhul, mida mõlemad meetodid lahendavad, annavad nad täpselt sama liikumise, sest Lagrange'i sõnastus on tuletatav Newtoni seadustest ja vastupidi. Muutub töömaht ja ulatus: sama retsept töötab mistahes ülesandele sobivates koordinaatides, laieneb sujuvalt väljadele ja kvantmehaanikale ning laseb jäävusseadustel sümmeetriatest välja kasvada — kui L mingist koordinaadist ei sõltu, siis sellega paaris olev suurus säilib, ilma et oleks vaja eraldi arutlust.