Kvantstatistika: Fermi-Diraci ja Bose-Einsteini statistika

Tavaline statistiline mehaanika, mis on välja töötatud klassikaliste gaasiosakeste jaoks, käsitleb osakesi eristatavatena ja lubab neil ükskõik mitmel jagada sama energiaolekut. Kvantosakesed rikuvad mõlemat eeldust: identsed kvantosakesed on põhimõtteliselt eristamatud ja see, kas neist rohkem kui üks saab hõivata sama üheosakese kvantoleku, sõltub täielikult sellest, kummasse kahest klassist osake kuulub.

Fermionid — klass, kuhu kuuluvad elektronid, prootonid ja neutronid — alluvad Pauli keeluprintsiibile: ükski kaks identset fermioni ei saa hõivata sama kvantolekut. Selle piirangut arvestava statistilise jaotuse ehitamine annab Fermi-Diraci jaotuse, mis annab oleku keskmise täitumusarvu antud energial ja temperatuuril, ülemise piiriga, mistõttu see kunagi ei ületa üht osakest oleku kohta. Sellel ühel piirangul on suured tagajärjed: see on põhjus, miks elektronid tahkes aines või aatomis täidavad olekuid madalaimast energiast alates ülespoole, mitte ei kogune kõik põhiolekusse, ja põhjus, miks madalal temperatuuril oleval Fermi gaasil on enamik oma osakestest lukustatud täidetud madala energiaga olekutesse, ainult ülemise hõivatud nivoo — Fermi energia — lähedal olevad osakesed on vabad väikestele häiritustele reageerima.

Bosonid — klass, kuhu kuuluvad footonid — ei allu sellisele piirangule: ükskõik mitu identset bosonit saavad hõivata sama oleku korraga. Tulemuseks olev Bose-Einsteini jaotus lubab täitumusarvudel kasvada ilma fermionliku piiranguta ja muudab tegelikult kõige madalama energiaga olekud temperatuuri langedes üha eelistatumaks, kulmineerudes piisavalt madalal temperatuuril ja piisavalt suurel tihedusel makroskoopilise osa kõigist osakestest kokkulangemisega üheainsasse madalaima energiaga olekusse — Bose-Einsteini kondensaadiks, selgelt kvantnähtuseks, millel puudub klassikaline vaste.

Mõlemad jaotused koonduvad klassikaliseks Maxwelli-Boltzmanni jaotuseks samas piirjuhus: kui ligipääsetavate kvantolekute arv ületab tunduvalt neid täitmiseks saadaolevate osakeste arvu, muutub tõenäosus, et kaks osakest kunagi konkureerivad sama oleku pärast, tühiseks, seega lakkab olulisest tähtsusest, kas mitmekordne hõivamine on tehniliselt lubatud või mitte. See on põhjus, miks tavalisi gaase igapäevastel tihedustel ja temperatuuridel kirjeldab hästi klassikaline statistika, kuigi iga koostisosake on põhimõtteliselt kas fermion või boson — kvantstatistika on üldine teooria ja klassikaline tulemus on selle hõreda gaasi piirjuht.