Besseli funktsioonid, Legendre'i polünoomid ja teised erifunktsioonid
Muutujate eraldamine Laplace'i või lainevõrrandis kõverjoonelisel kujul — silindril, sfääril, kvantsüsteemi kaevus — jätab järele teist järku diferentsiaalvõrrandi, mida siinused, koosinused või eksponentfunktsioonid ei lahenda; iga nimeline pere (Besseli funktsioonid silindrilise sümmeetria, Legendre'i polünoomid sfäärilise, Hermite'i polünoomid kvantharmoonilise ostsillaatori, Laguerre'i polünoomid vesinikuaatomi radiaalosa jaoks) on konkreetne lahend ühele säärasele võrrandile, ja kokku moodustavad need täieliku ortogonaalse baasi funktsioonide arendamiseks sellel kujul — samas rollis, mida siinused ja koosinused täidavad tavalises Fourier' reas.
Practise this conceptTavalised Fourier' read toimivad, kuna siinused ja koosinused on lihtsaima teist järku operaatori omafunktsioonid tasasel, perioodilisel kujul. Muuda kuju — silinder sirge asemel, sfäär tasapinna asemel — ja muutujate eraldamine Laplace'i või lainevõrrandis jätab endiselt järele teist järku diferentsiaalvõrrandi "radiaal-" või "nurgaosa" jaoks, kuid seda ei lahenda enam siinus ja koosinus. Igal kujul on oma omafunktsioonid, ja matemaatikud nimetasid pered nende järgi, kes need välja töötasid: Besseli funktsioonid silindrilise sümmeetria, Legendre'i polünoomid sfäärilise jaoks.
Sama idee ulatub kaugemale puhtast geomeetriast. Kvantharmoonilise ostsillaatori Schrödingeri võrrand taandub, pärast Gaussi teguri eemaldamist, diferentsiaalvõrrandiks, mida lahendavad Hermite'i polünoomid. Vesinikuaatomi radiaalvõrrand taandub võrrandiks, mida lahendavad (assotsieerunud) Laguerre'i polünoomid. Igal juhul on muster identne: füüsikaline sümmeetria määrab konkreetse diferentsiaalvõrrandi, ja konkreetne nimeline funktsioonide pere on lihtsalt see, mida "korrektselt käituvaid lahendeid sellele võrrandile" nimetatakse.
Need pered on rohkem kui valemite loomastik just seetõttu, et igaüks neist on täielik ortogonaalne süsteem oma loomulikul kujul — täpselt nii, nagu siinused ja koosinused on täielikud intervallil. See tähendab, et suvalist piisavalt korrektselt käituvat funktsiooni kettal saab arendada Besseli funktsioonide summaks, suvalist funktsiooni sfääril Legendre'i polünoomide summaks (või, arvestades ka asimutaalnurka, sfäärilisteks harmoonikuteks), samamoodi nagu suvaline perioodiline signaal arendatakse Fourier' reaks. Ära tundmine, milline pere ülesande jaoks sobib, on tegelikult lihtsalt selle sümmeetria ära tundmine.
Key ideas
Requires: Teist järku diferentsiaalvõrrandid
Common misconceptions
- Besseli funktsioonide, Legendre'i polünoomide ja ülejäänute käsitlemine seosetu valemite hunnikuna, mis tuleb pähe õppida — jättes tähele panemata, et need täidavad täpselt sama rolli, mida siinused ja koosinused täidavad tavalises Fourier' reas: täielik ortogonaalne baas suvalise funktsiooni arendamiseks, kohandatud vaid teistsuguse kuju rajatingimustele.
- Arvamine, et neid perekondi võib suvalise ülesande jaoks vahetatavalt kasutada — jättes tähele panemata, et kumb kehtib, on määratud kujuga: Besseli funktsioonid lahendavad silindrilise sümmeetriaga ülesande radiaalosa, Legendre'i polünoomid sfäärilise sümmeetriaga ülesande nurgaosa, ja koordinaadistiku jaoks vale pere valimine ei rahulda võrrandit.
- Nende käsitlemine eksootiliste, harva oluliste kuriositeetidena, mis ilmuvad ainult kõrgema puhta matemaatika ülesannetes — jättes tähele panemata, et need tulevad muutujate eraldamisel otse ja vältimatult välja äärmiselt tavalistes füüsikalistes olukordades: soojusjuhtivus silindris, võnkuv trumminahk ja vesinikuaatomi elektronorbitaalide täpne kuju vajavad kõik üht neist peredest, mitte midagi erakorralist.
Resources
Kuulub nende TÜ ainete hulka
See mõiste on kaardistatud järgmis(t)e Tartu Ülikooli õppekava aine(te) osaliseks kattmiseks.
- Matemaatilise füüsika võrrandidLOFY.04.035