Osatuletistega võrrandite klassifikatsioon: parabooliline, hüperboolne, elliptiline
Üldine teist järku lineaarne osatuletistega võrrand Au_xx + Bu_xy + Cu_yy + ⋯ = 0 liigitatakse diskriminandi B² − 4AC järgi täpses analoogias kooniliste lõikega: negatiivne tähendab elliptilist (nagu Laplace' võrrand, mis kirjeldab statsionaarseid olekuid), null tähendab paraboolilist (nagu soojusvõrrand, mis kirjeldab difusiooni) ja positiivne tähendab hüperboolset (nagu lainevõrrand, mis kirjeldab levikut) — ja igal klassil on tegelikult vaja erinevat tüüpi raja- või algtingimust, et lahend oleks korrektselt püstitatud.
Practise this conceptKirjuta üldisim teist järku lineaarne osatuletistega võrrand kahes muutujas kujul Au_xx + Bu_xy + Cu_yy + (madalama järgu liikmed) = 0. Kolm kordajat A, B, C teist tuletist sisaldavate liikmete ees määravad kõik võrrandi kvalitatiivsest iseloomust läbi sama diskriminandi, mis liigitab koonilist lõiget: Δ = B² − 4AC. See ei ole kokkusattumus — osatuletistega võrrandi karakteristikud (suunad, mille kaudu info levib) rahuldavad sama ruutseost, mis defineerib ellipsi, parabooli või hüperbooli, ja täpselt sealt tulevad ka nimed.
Δ < 0 on elliptiline — Laplace' ja Poissoni võrrandid on standardsed näited, ja need kirjeldavad tasakaaluolekuid, kus puudub eelistatud leviku suund. Elliptiline võrrand on korrektselt püstitatud rajatingimustega, mis on määratud üle kogu suletud piirkonna raja (Dirichlet' või Neumanni ülesanne), mitte kunagi algtingimustega lahtisel kõveral. Δ = 0 on parabooliline — soojusvõrrand on standardne näide, mis kirjeldab difusiooni, ja see on korrektselt püstitatud algtingimusega ühel ajahetkel pluss rajatingimustega ruumilistel äärtel, arenedes edasi. Δ > 0 on hüperboolne — lainevõrrand on standardne näide, mis kirjeldab levikut lõpliku kiirusega, ja see on korrektselt püstitatud algasendi ja algkiirusega ühel ajahetkel, info levimisel väljapoole karakteristikute kaudu.
Kuna A, B, C on võrrandi omad kordajad (mitte lahend), on tüüp võrrandi ise omadus ja ei muutu ühelt lahendilt teisele. Kuid kui need kordajad sõltuvad x-ist ja y-ist (mitte olles konstandid), võib võrrand piirkonnast piirkonda tegelikult tüüpi muuta — Tricomi võrrand, elliptiline ühes piirkonnas ja hüperboolne teises, on täpselt sellise juhtumi õpikunäide.
Key ideas
Requires: Teist järku diferentsiaalvõrrandid, Osatuletised
Formulas
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| kordaja | 1 (mõõtühikuta) | |
| kordaja | 1 (mõõtühikuta) | |
| kordaja | 1 (mõõtühikuta) | |
| diskriminant | 1 (mõõtühikuta) |
Common misconceptions
- Arvab, et liigitus sõltub konkreetsest uuritavast lahendist u(x,y), selle asemel et olla ainult võrrandi kordajate A, B, C omadus — samal osatuletistega võrrandil on sama tüüp kõikjal, kus need kordajad on hinnatud, sõltumata sellest, milline lahend sisse asendatakse.
- Arvab, et korrektselt püstitatud seade (millist tüüpi raja- või algtingimusi ette anda) on igal osatuletistega võrrandi tüübil sama, mistõttu võib igale võrrandile anda algtingimused lahtisel rajal nagu lainevõrrandile, või rajatingimused igast suunast nagu Laplace' võrrandile.
- Arvutab diskriminandi valesti kui B² + 4AC või A² − 4BC, sobitades lohakalt ruutvõrrandi valemile, mitte tegelikule osatuletistega võrrandi diskriminandile B² − 4AC, mis pöörab liigituse võrrandite jaoks, kus selle vahetuse märk tegelikult loeb.
Resources
Kuulub nende TÜ ainete hulka
See mõiste on kaardistatud järgmis(t)e Tartu Ülikooli õppekava aine(te) osaliseks kattmiseks.
- Matemaatilise füüsika võrrandidLOFY.04.035