Tensoralgebra ja kõverjoonelised koordinaadid
Tensor üldistab vektoreid ja maatrikseid objektiks, millel võib olla suvaline arv indekseid ja mis teisendub koordinaatide muutumisel kindlal, ennustataval viisil; kõverjoonelised süsteemid, nagu polaar- või sfäärilised koordinaadid, vajavad seda aparaati, kuna nende alusvektorid muudavad punktist punkti suunda, mistõttu gradiendil, divergentsil ja rootoril tekivad lisaliikmed, mis Descartes'i sirgjoonelistes koordinaatides kaovad.
Practise this conceptVektor on üheindeksiline tensor, skalaar on nullindeksiline tensor ja maatriks, mis esindab tõelist lineaarset teisendust, on kaheindeksiline tensor — see muster üldistub suvalise indeksite arvuni. Objekti tensoriks teeb aga mitte see, mitu indeksit tal on, vaid see, kuidas tema komponendid muutuvad koordinaatsüsteemi vahetamisel: tensori komponendid teisenevad kindla, ennustatava reegli järgi (kokkutõmbamine koordinaadimuutuse Jacobi maatriksiga, üks kord iga indeksi kohta), mis hoiab alusoleva geomeetrilise objekti — pikkuse, voo, pinge — samana, olenemata sellest, milliseid koordinaate selle kirjeldamiseks kasutati.
Kõverjoonelised koordinaadid muudavad selle aparaadi kohustuslikuks, mitte valikuliseks. Descartes'i koordinaatides osutavad alusvektorid kõikjal samasse suunda, mistõttu gradiendi, divergentsi ja rootori tavalised valemid ei vaja korrektsiooni. Polaar- või sfäärilistes koordinaatides pöörduvad alusvektorid liikumisel — "radiaalne" suund ühes punktis ei ole paralleelne "radiaalse" suunaga teises punktis —, mistõttu kaugused, pindalad ja tuletisoperaatorid saavad kõik lisategurid, mis arvestavad selle pöördumisega. Meetrikatensor on täpselt see arvestusvahend, mis seda tabab: polaarkoordinaatides ütleb ds² = dr² + r²dθ², et väike nurgasamm katab seda rohkem tegelikku maad, mida kaugemal alguspunktist ollakse.
Indeksi tõstmine ja langetamine — "kovariantse" komponendi muutmine "kontravariantseks" ja tagasi — on tegelik operatsioon, mis tehakse meetrikatensoriga kokkutõmbamise teel, mitte tähistuslik kaunistus. Ortonormaalses Descartes'i aluses on meetrika lihtsalt ühikmaatriks, mistõttu erinevus on nähtamatu ja mõlemal komponenditüübil on juhtumisi sama arvväärtus; niipea, kui alus on kõverjooneline (või tõeliselt kõverdunud), muudab indeksi tõstmine ja langetamine arvu, ja neid kahte vahetatavaks pidamine annab vale vastuse.
Key ideas
Requires: Vektorid ruumis, Skalaarkorrutis, Vektorkorrutis, Vektorväljad ja gradient, Divergents ja rootor
Formulas
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| raadius | 1 (mõõtühikuta) | |
| nihe | 1 (mõõtühikuta) | |
| nurk | 1 (mõõtühikuta) | |
| pikkus | 1 (mõõtühikuta) |
Common misconceptions
- Arvab, et tensor on lihtsalt uhkema nimega maatriks, mistõttu iga ristkülikukujuline arvutabel sobib — jättes tähelepanuta, et tensoriks teeb objekti tema teisenemisseadus koordinaatide muutumisel, mitte tema kuju.
- Arvab, et meetrikatensorit vajatakse ainult kõverdunud (mitteeukleidilises) ruumis, jättes tähelepanuta, et see on vajalik juba lameda ruumi puhul, kui koordinaadid on kõverjoonelised — polaarmeetrika ds² = dr² + r²dθ² on mittetrivialine, kuigi alusolev tasand on täiesti lame.
- Arvab, et indeksi tõstmine või langetamine on kosmeetiline tähistuslik valik, millel puudub arvuline tagajärg, selle asemel et mõista, et see on meetrikatensoriga kokkutõmbamise teel tehtav operatsioon, mis muudab komponentide väärtusi tegelikult iga kord, kui alus ei ole ortonormaalne.
Resources
Kuulub nende TÜ ainete hulka
See mõiste on kaardistatud järgmis(t)e Tartu Ülikooli õppekava aine(te) osaliseks kattmiseks.
- Matemaatiline füüsikaLTFY.04.013