Teist järku diferentsiaalvõrrandid

Teist järku diferentsiaalvõrrand hõlmab funktsiooni teist tuletist ja kõige olulisem juhtum rakendustes on konstantsete kordajatega lineaarne võrrand, ay'' + by' + cy = 0, mis esineb läbivalt füüsikas võrrandina, mis reguleerib kõike alates vedru otsas olevast massist kuni RLC-elektriahelani. Selle süstemaatiline lahendamine algab katsega: oletame, et lahend on kujul y = e^(rx) mingi veel leidmata konstandi r jaoks. See ei ole eikusagilt võetud oletus — eksponendid on ainsad funktsioonid, mille tuletised on proportsionaalsed nende endaga, seega muudab selle katselahendi asendamine iga tuletise võrrandis r astmeks korrutatuna sama eksponentsiaalse teguriga, mille saab välja jagada, jättes puhta algebralise võrrandi r-i suhtes: ar² + br + c = 0, mida nimetatakse karakteristlikuks võrrandiks.

Karakteristliku võrrandi juurte olemus määrab lahendi kogu kvalitatiivse käitumise ja on täpselt kolm juhtumit. Kui karakteristlikul võrrandil on kaks erinevat reaaljuurt r1 ja r2, on üldlahend kahe eksponendi summa, y = C1·e^(r1x) + C2·e^(r2x) — see on ülesummutatud juhtum füüsikalises ostsillaatoris, kus süsteem naaseb tasakaaluolekusse ilma võnkumata. Kui juured korduvad (üksainus reaaljuur r esineb kaks korda), on üldlahend y = (C1 + C2x)·e^(rx), kus lisategur x on vajalik täpselt sellepärast, et üksik eksponent üksi ei saa pakkuda vajalikku teist sõltumatut lahendit — see on kriitiliselt summutatud juhtum, kiireim võimalik tagasitulek tasakaaluolekusse ilma ületõmbumiseta. Kui juured on kompleksne kaasjuurte paar, α ± iβ, saab üldlahendi Euleri valemi abil ümber kirjutada puhtalt reaalsete liikmetega kujul y = e^(αx)(C1cos(βx) + C2sin(βx)) — võnkuva lahendina, mille amplituud kasvab või kahaneb eksponentsiaalselt sõltuvalt α märgist; see on alasummutatud juhtum, võnkumine eksponentsiaalselt kahaneva ümbrisega, ja taandub puhtaks summutamata võnkumiseks, kui α = 0.

Igal juhul sisaldab üldlahend täpselt kahte suvalist konstanti, vastavuses võrrandi järguga — sama loenduspõhimõte nagu esimest järku võrrandi puhul, mis vajab ühte konstanti, nüüd kahekordistatuna, kuna kordumatu füüsikalise lahendi määramine (näiteks võnkuva massi liikumine) nõuab nii algasukoha kui algkiiruse fikseerimist, kahte sõltumatut infokildu.