Püsipunktid ja faasitasandi stabiilsus
Püsipunkt on olek, kus kõik muutumiskiirused on nullid, nii et täpselt sinna jäetud süsteem püsibki seal — ja trajektooride joonistamine faasitasandil (näiteks asend kiiruse vastu) muudab küsimuse, kas süsteem sinna ka tõuke järel jääb, geomeetriliseks: kui punkti ümbruses lineariseerida, otsustavad tekkiva 2×2 maatriksi omaväärtused, kas lähedased trajektoorid keerduvad sisse, paisatakse mööda eelissuunda välja või tiirlevad lõputult ringi; just seetõttu on alla rippuv pendel ja sama pendel püstises tasakaalus üks võrrand kahe täiesti erineva püsipunktiga.
Practise this conceptSelle asemel et joonistada asend aja vastu, joonista asend kiiruse vastu. Iga süsteemi olek on siis üksainus punkt ja liikumisvõrranditest saab vooluväli: igast punktist lähtub nool, mis ütleb, kuhu olek järgmisena liigub. Terve lahend on nende noolte pikku kulgev kõver ja kõigi selliste kõverate ühine pilt on faasiportree. Püsipunktid on kohad, kus noole pikkus on null — pane süsteem täpselt sinna ja see ei liigu enam. Pendlil on ühe täispöörde jooksul neid kaks: otse alla rippuv ja otse üles tasakaalustatud asend.
Mõlemad on püsipunktid, kuid keegi ei nimetaks neid võrdselt stabiilseteks, ja erinevus paistab välja vooluväljast nende ümber. Et sellele arvuliselt ligi pääseda, kirjuta olek püsipunkti ja väikese hälbe summana ning jäta alles ainult hälbe suhtes lineaarsed liikmed. Alles jääb 2×2 maatriks ja selle omaväärtused ütlevad, mis hälbest saab: negatiivne reaalosa tähendab kahanemist, seega trajektoorid tulevad sisse; positiivne reaalosa tähendab kasvamist, seega need lahkuvad; imaginaarosa tähendab, et hälve pöörleb kummalgi juhul. Nii tekib tavapärane liigitus — stabiilsed ja ebastabiilsed sõlmed, fookused ning sadulpunkt, mille omaväärtustest üks on kummastki märgist ja mis seetõttu tõmbab ligi mööda üht suunda ning tõukab eemale mööda teist. Püstine pendel on sadulpunkt, ja just seepärast on selle tasakaalustamine põhimõtteliselt võimalik, praktikas aga lootusetu: tagasi langeb ainult täpselt sissetuleva suuna sihis antud häiritus.
Üht juhtu lineaarne analüüs tõepoolest ei lahenda. Kui mõlemad omaväärtused on puhtimaginaarsed, näitab lineariseeritud pilt kinniseid orbiite ehk tsentrit, kuid just ärajäetud liikmed on sama suured kui ennustatav efekt, nii et otsustavad mittelineaarsed liikmed: kas päris trajektoorid keerduvad aeglaselt sissepoole, väljapoole või sulguvad täpselt. Sumbumiseta pendlil on kinnised orbiidid tõesti olemas; lisa vähimgi sumbumine ja tsentrist saab sissepoole keerduv spiraal. See piirijuhtum ei ole niivõrd meetodi puudus, kuivõrd koht, kust mittelineaarne dünaamika alguse saab: sealt leiab piirtsüklid, bifurkatsioonid ja lõpuks ka kaose.
Key ideas
Requires: Sumbuvad võnkumised
Unlocks: Bifurkatsioonid ja stabiilsuse kaotus, Piirtsüklid ja Poincaré lõiked
Common misconceptions
- Sõna "püsipunkt" mõistmine tähenduses "midagi ei toimu" — nulliks muutuvad olekumuutujate muutumiskiirused, mitte süsteemisisene tegevus. Püsival kontsentratsioonil hoitav keemiareaktor on püsipunktis ka siis, kui reaktsioonid käivad täie hooga mõlemas suunas, ja ühtlaselt pöörlev rootor on oma nurkkiiruse võrrandi püsipunkt, kuigi ta nähtavalt liigub.
- Eeldus, et püsipunkt peab olema kas tõmbav või tõukav, ja et üksainus negatiivne omaväärtus lubab seda juba stabiilseks nimetada. Sadulpunkt teeb mõlemat korraga: ta tõmbab trajektoore ligi mööda üht suunda ja paiskab neid välja mööda teist, ning kuna ükski päris häiritus ei satu täpselt sissetulevale suunale, läheneb peaaegu iga lähedane olek mõnda aega ja lahkub siis.
- Linearisatsiooni pidamine kogu vastuseks, seda mõlemas suunas: kas alati usaldamine või kõrvaleheitmine kui "pelgalt ligikaudsus", mis midagi ei otsusta. Nullist erineva reaalosaga omaväärtused määravad kohaliku käitumise tõesti ära — see on teoreem, mitte oletus — kuid siis, kui reaalosad on täpselt nullid ehk lineaarses pildis on tegu tsentriga, otsustavad ärajäetud mittelineaarsed liikmed, kas päris trajektoorid hiilivad sissepoole, väljapoole või sulguvad tõepoolest, ja seal lineaarne analüüs vaikib.
Resources
Kuulub nende TÜ ainete hulka
See mõiste on kaardistatud järgmis(t)e Tartu Ülikooli õppekava aine(te) osaliseks kattmiseks.
- Mittelineaarne dünaamikaLOFY.04.070