Piirtsüklid ja Poincaré lõiked

Sumbumiseta pendel kõigub lõputult ja see, kui suure kaarega, sõltub täielikult sellest, kui tugevasti teda käivitati: tema faasiportree on üksteise sees paiknevate kinniste silmuste pere, üks läbi iga punkti. Isevõnkuv süsteem käitub hoopis teisiti. Käivita viiulikeel raske või kerge poognatõmbega, käivita elektrooniline ostsillaator suure või tillukese häiritusega — mõne aja pärast võnguvad nad kõik sama amplituudiga. Faasitasandil tähendab see üht isoleeritud kinnist silmust, mille ümber kõik spiraalselt sissepoole keerdub: piirtsüklit.

Kogu erinevus seisnebki isoleerituses. Piirtsükli ümber ei ole teisi kinniseid orbiite, nii et silmus on olek, mille süsteem valib, mitte selline, mida ta lihtsalt mäletab. See eeldab mittelineaarsust ja ühtlast energiaallikat — ühe tiiru jooksul võtab süsteem väikese amplituudi korral energiat juurde ja hajutab seda suure amplituudi korral, ning tasakaalukoht ongi tsükkel. Poogen toidab keelt ühtlase kiirusega, pumpamisvool toidab laserit ühtlase kiirusega ja kumbki neist ei võngu: rütm tehakse süsteemi sees. See on ka Hopfi bifurkatsiooni loomulik järg, kus püsipunkt kaotab stabiilsuse ja annab selle üle just sellisele silmusele.

Kinniste silmuste lugemine faasiportreelt muutub raskeks niipea, kui ruumil on üle kahe mõõtme, ja siin tuleb mängu Poincaré lõige. Vali pind, mida vooluväli läbib põiki, jäta trajektoor ise kõrvale ja märgi ainult punktid, kus see pinda ühes suunas läbistab. Perioodiline liikumine läbistab iga perioodi järel sama koha, nii et sellest jääb üksainus täpp; kahe ühismõõduta sagedusega liikumine täidab kinnise joone; kaootiline liikumine jätab pilve, millel lähemal vaatlusel on peen korduv struktuur, mitte juhuslik hajumine. Pideva vooluvälja muutmine niiviisi diskreetseks kujutuseks seob teema ka itereeritud kujutustega, nagu logistiline kujutus, kus perioodi kahekordistumist ja teed kaosesse on kõige hõlpsam näha.