Konformne teisendus
Konformne teisendus on kompleksmuutuja funktsioon, mis säilitab lõikuvate kõverate vahelised nurgad igas punktis, kus tema tuletis ei ole null — see on holomorfsuse tagajärg, mitte lisaeeldus —, mistõttu on sellised teisendused eelistatud tööriist tülika geomeetrilise piirkonna moondamiseks lihtsaks (ketaks, pooltasandiks), säilitades kohaliku nurgastruktuuri, millest sõltuvad füüsikalise välja rajatingimused.
Practise this conceptIga holomorfne funktsioon, mille tuletis punktis on nullist erinev, on selles punktis kohalikult lihtsalt pöörlemine ja ühtlane skaleerimine — see on see, mida ühe kompleksse tuletise olemasolu geomeetriliselt tegelikult tähendab, kuna korrutamine kompleksarvuga f′(z₀) pöörab selle argumendi võrra ja skaleerib selle mooduli võrra, samas ulatuses igas suunas. Pöörlemine koos ühtlase skaleerimisega võib kaugusi vabalt moondada, kuid ei saa kunagi muuta nurka kahe selles punktis lõikuva sirge vahel, mis on täpselt konformsuse definitsioon: nurga säilimine.
See läheb luhta igas punktis, kus f′(z) = 0, ükskõik kui holomorfne f seal ikkagi on — kohalik käitumine ei ole enam lihtne pöörlemine-ja-skaleerimine, ja nurgad tegelikult moonduvad. Klassikaline näide on w = z², mis kahekordistab nurgad alguspunktis (kus tuletis on null), säilitades need kõikjal mujal.
Praktiline tulu on rajaväärtusülesannete lahendamine tülikatel piirkondadel. Laplace' võrrand on konformselt invariantne: kui u(x, y) on harmooniline piirkonnal ja w = f(z) on konformne teisendus paremasse piirkonda (kettaks, pooltasandiks, ribaks), siis u ja f⁻¹ kompositsioon on harmooniline ka uuel piirkonnal. Nii on standardne nipp kaardistada kole piirkond standardseks, lahendada seal lihtne ülesanne (tihti vaatluse teel või tuntud valemiga) ja kaardistada lahendus tagasi — nurga säilimine tagab, et rajatingimused kanduvad õigesti üle, kuna geomeetria, mis need kohalikult määras, ei ole pöördunud, ainult ümber kujundatud.
Key ideas
Requires: Kompleksmuutuja funktsioonid
Common misconceptions
- Arvab, et konformne teisendus säilitab kaugusi ja kujusid, nagu jäik pöörlemine, selle asemel et säilitada ainult kohalikke nurki — konformne teisendus võib piirkonda tohutult venitada, ta ei saa vaid kahe lõikuva kõvera vahelist nurka pöörata.
- Eeldab, et iga holomorfne funktsioon on konformne oma määramispiirkonna igas punktis, jättes tähelepanuta, et nurga säilimine ei kehti punktis, kus tuletis on null, kuigi funktsioon on seal endiselt täiesti holomorfne.
- Arvab, et keerulise piirkonna kujutamine kettaks või pooltasandiks on ainult geomeetriline mugavus, millel ei ole seost füüsikalise ülesande lahendamisega, jättes tähelepanuta, et Laplace' võrrand ise säilib konformse muutujate vahetuse korral — nii et lahendus lihtsal piirkonnal teisendub otse tagasi lahenduseks algsel piirkonnal.
Resources
Kuulub nende TÜ ainete hulka
See mõiste on kaardistatud järgmis(t)e Tartu Ülikooli õppekava aine(te) osaliseks kattmiseks.
- Kompleksmuutuja funktsioonid füüsikasLTFY.04.015