Vektorruumid ja lineaarne sõltumatus

Lineaaralgebra algab ruumis olevatest nooltest ja viskab siis nooled minema. Tegelikult loeb see, et kaht objekti saab liita ja üht arvuga korrutada ning et need tehted alluvad tuttavatele reeglitele. Iga hulk, millel on selline struktuur, on vektorruum ja teooria kehtib selle kohta muutumatuna.

See abstraktsioon ei ole kaunistus — see ongi kogu kasu. Ülimalt kolmanda astme polünoomid moodustavad vektorruumi: liida kaks ja saad uue, skaleeri üht ja saad uue. Sama teevad lõigul pidevad funktsioonid, lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendid ja signaalid Fourier' analüüsis. Iga noolte kohta tõestatud teoreem kandub neile kõigile üle ja just seepärast on "lahendite ruum on kahemõõtmeline" mõtestatud ja kasulik väide diferentsiaalvõrrandi kohta.

Sõltumatus on korrastav mõte. Vektorite hulk on lineaarselt sõltuv, kui üks neist on ülejäänutest kokku pandav — sel juhul ei kanna see infot, mida ülejäänud juba ei annaks. Sõltumatu hulk, mis ühtlasi ruumi moodustab — iga element on nende mingi kombinatsioon — on baas ja igal antud ruumi baasil on sama arv elemente: mõõde. Sellest tuleneb kaks hoiatust. Õigest arvust vektoritest ei piisa: kolm ruumivektorit, mis juhtuvad asuma ühises tasandis, on sõltuvad ja moodustavad ainult selle tasandi. Ja baas ei ole kunagi ainus — neid on lõpmata palju ning mugava valimine on suur osa sellest, mis teeb lineaaralgebra kasulikuks, sest õige baas võib muuta raske ülesande ilmselgeks.