Kompleksmuutuja funktsioonid

Reaalfunktsioon on punktis diferentseeruv, kui diferentssuhe läheneb samale piirväärtusele nii vasakult kui ka paremalt. Kompleksfunktsioonil on terve tasand suundi, millest läheneda, mitte ainult kaks, ja diferentseeruvus nõuab, et piirväärtus ühtiks mööda kõiki neist — otse sisse, otse välja, spiraalselt sissepoole, mistahes tee. See üksainus karmistatud nõue ongi kogu erinevus reaal- ja kompleksanalüüsi vahel ning selgub, et see on tohutult piirav.

Kirjuta f(z) = u(x, y) + iv(x, y), jagades funktsiooni reaal- ja imaginaarosaks kui z reaal- ja imaginaarosa funktsioonideks. Nõue, et tuletise piirväärtus ühtiks x-suunast ja y-suunast — vaid kahest lõpmatult paljust suunast —, sunnib juba ise peale ∂u/∂x = ∂v/∂y ja ∂u/∂y = −∂v/∂x, Cauchy-Riemanni võrrandid. Funktsioon, mis neid rahuldab (koos pidevate osatuletistega), osutub diferentseeruvaks kõikidest suundadest korraga: kaks tingimust ostavad tasuta lõpmata palju. Just seepärast ei saa u-d ja v-d sõltumatult valida — vali u ja võrrandid määravad v konstandi täpsusega, sidudes need kaks täielikult.

Funktsiooni, mis on kõikjal lahtisel hulgal diferentseeruv, nimetatakse holomorfseks, ja selle jäikuse eest saadav kasu on erakordne: holomorfne funktsioon on automaatselt lõpmata korda diferentseeruv, võrdub omaenda Taylori reaga kõikjal, kus see rida koondub, ja on täielikult määratud oma väärtustega mistahes väikesel kaarel, ükskõik kui lühikesel. Midagi sellest ei kehti reaalfunktsioonide kohta, kus diferentseeruvus ei tähenda kahekordset diferentseeruvust, rääkimata analüütilisusest. See on ka otsene põhjus, miks kompleksmeetodid lahendavad füüsikalisi ülesandeid — Laplace'i võrrand kahes mõõtmes, mis kirjeldab nii elektrostaatilisi potentsiaale kui ka statsionaarset vedelikuvoolu, ongi täpselt tingimus, mida u ja v (või v ja u) rahuldavad, nii et iga holomorfne funktsioon annab valmis lahenduse.