Funktsiooni uurimine tuletiste abil
Esimese tuletise märk näitab, kus funktsioon kasvab või kahaneb ning kus on lokaalsed ekstreemumid; teise tuletise märk näitab, kus graafik on kumer või nõgus ning kus on käänupunktid — koos muudavad need algebralise avaldise täpseks joonistuseks ilma punkte arvutamata.
Practise this conceptFunktsiooni esimene ja teine tuletis annavad täieliku tööriistakomplekti selle graafiku joonistamiseks, ilma et tuleks arvutada kümneid punkte. Tuletise f'(x) märk näitab, kus kõver kasvab (f' > 0) või kahaneb (f' < 0); kohas, kus f'(x) = 0, on kandidaat ekstreemumiks, kuid ainult tuletise tegelik märgivahetus selles punktis kinnitab maksimumi või miinimumi — lame koht, kus märk ei muutu, näiteks x³ nullpunktis, ei ole ekstreemum.
Teine tuletis vastab teisele küsimusele: mitte sellele, kas kõver tõuseb või laskub, vaid sellele, kuidas see kõverdub. Kus f''(x) > 0, kõverdub graafik ülespoole (kumer, hoiab vett); kus f''(x) < 0, kõverdub see allapoole (nõgus). Punkt, kus f''(x) = 0, on käänupunkt ainult siis, kui kumerus seal tegelikult märki vahetab — vastasel juhul on see valehäire, täpselt nagu statsionaarne punkt, mis ei ole ekstreemum.
Mõlema tuletise kombineerimine — kasvamine/kahanemine f'-st, kumerus/nõgusus f''-st — võimaldab kõvera üldkuju ("lugu": kus see tõuseb, kus pöörab, kus kõverdub) joonistada otse algebrast, mis on kõverate uurimise mõte, erinevalt pelgast punktide arvutamisest.
Key ideas
Requires: Tuletis
Common misconceptions
- Arvab, et igas punktis, kus f'(x) = 0, on lokaalne ekstreemum, kontrollimata, kas tuletise märk seal tegelikult muutub — jättes kahe silma vahele, et f(x) = x³-l on statsionaarne punkt x = 0 juures, mis ei ole ekstreemum.
- Ajab segi f'(x) märgi (kasvamine või kahanemine) ja f''(x) märgi (kumerus või nõgusus) — arvates, et funktsioon on nõgus kõikjal, kus see kahaneb.
- Eeldab, et iga punkt, kus f''(x) = 0, on käänupunkt, kontrollimata, kas kumerus seal tegelikult märki muudab.
Resources
Kuulub nende TÜ ainete hulka
See mõiste on kaardistatud järgmis(t)e Tartu Ülikooli õppekava aine(te) osaliseks kattmiseks.
- Kõrgem matemaatika IMTMM.00.340