Tuletis

Keskmine muutumiskiirus on lihtne: vali kaks punkti, jaga väljundi muut sisendi muuduga. Hetkeline muutumiskiirus on raske juht, sest üksikul hetkel on mõlemad muudud nullid ja 0/0 ei ütle midagi. Tuletis lahendab selle, võttes keskmise kiiruse mingil vahemikul ja lastes seejärel vahemikul olematuks kahaneda — see on piirväärtus, mitte väga väike lahutamine.

Geomeetriliselt on see piirväärtus puutuja tõus. Kahte lähedast punkti läbival lõikajal on kindel tõus; kui teine punkt libiseb esimese poole, settivad need tõusud ühele väärtusele ja see väärtus ongi f′(a). Just seepärast vastab tuletis küsimusele "kui kiiresti praegu" — kiiruse, reaktsioonikiiruse või piirkulu puhul, kõikjal, kus keskmine mingil vahemikul ei ole soovitud vastus.

Kaht piiri tasub teada. Diferentseeruvus on rangelt tugevam kui pidevus: funktsioon |x| on nullis pidev, kuid tal ei ole seal tuletist, sest tõus läheneb ühelt poolt −1-le ja teiselt +1-le ning ühtset piirväärtust ei ole. Nurgapunktist piisab selle rikkumiseks. Ja nulliga võrduv tuletis tähendab ainult seda, et puutuja on horisontaalne — maksimum, miinimum või käänupunkt, nagu x³ alguspunktis. Võrrandi f′(x) = 0 lahendamine leiab kandidaadid; see, mis liiki nad on, nõuab edasist tööd.