Osatuletised

Ühe muutuja funktsiooni puhul on "tõus" üheselt määratud — liikuda saab ainult ühes suunas. Pinnal z = f(x, y) see enam nii ei ole. Mäenõlval seistes võid kõndida itta ja tõusta, kõndida põhja ja laskuda või liikuda mööda samakõrgusjoont ja püsida samal kõrgusel. Üksainus arv ei suuda seda tabada, seega jaguneb tuletis mitmeks.

Osatuletis hoiab kõiki muutujaid peale ühe kinni ja diferentseerib tavapäraselt. ∂f/∂x küsib, kuidas f muutub, kui x liigub ja y on külmutatud; ∂f/∂y küsib vastupidist. Arvutuslikult on see lihtne — käsitle teist muutujat konstandina — kuid sõna "konstant" teeb tööd, mida sageli valesti loetakse. Konstandid ei kao, need jäävad kordajateks. Funktsiooni f = x²y korral annab x-i järgi diferentseerimine 2xy, mitte 2x: y hoitakse kinni, mitte ei kustutata.

Kaks osatuletist koos annavad gradiendi, mis osutab kõige järsema tõusu suunas ja mille pikkus ongi see järseim tõus. Sellest saab tuletada muutumiskiiruse mistahes suunas, seega kirjeldavad kaks arvu kogu kohalikku pilti. Punktide leidmine, kus mõlemad osatuletised kaovad, tuvastab lamedad kohad, kuid see üldistab ühe muutuja lugu ühel olulisel viisil: peale maksimumide ja miinimumide võib pinnal olla sadulpunkt, mis tõuseb ühes suunas ja langeb sellega risti suunas. Mäekuru on täpselt see ja mingi hulk esimeste tuletiste vahtimist ei erista seda — uurida tuleb teisi tuletisi.