Dünaamilised süsteemid ja faasiportreed

Kirjuta süsteem kujul x′ = f(x, y), y′ = g(x, y) ja iga punkt (x, y) tasandil saab noole: suund ja kiirus, millega seal seisev osake järgmisena liiguks. Nende noolte järgimine joonistab trajektoorid, ja kogu pilt — nooled kõikjal, trajektoorid nende vahel kulgemas — on faasiportree. Püsipunkt on iga punkt, kus nii f kui g on null, mistõttu noolel on nullpikkus ja midagi ei liigu; see on süsteemi tasakaalupunkt.

Püsipunkti lähedal muudab mittelineaarse f ja g asendamine nende lineaarse (Jacobi maatriksi) lähendusega segase algsüsteemi lineaarseks, mille käitumise määravad täielikult selle maatriksi omaväärtused. Kaks samamärgilist reaalset omaväärtust annavad sõlme — kõik voolab otse sisse (mõlemad negatiivsed, stabiilne) või otse välja (mõlemad positiivsed, ebastabiilne). Kaks vastasmärgilist reaalset omaväärtust annavad sadula: trajektoorid lähenevad ühes suunas ja põgenevad teises, mistõttu peaaegu iga lähedane algpunkt lõpuks eemale paisatakse, ehkki eriline joon punktidest voolab otse sisse. Kompleksne kaaskonjugeeritud paar annab spiraali, mis keerdub sisse- või väljapoole vastavalt reaalosa märgile, ning imaginaarosa määrab keerdumise kiiruse.

See lineaarne pilt on ainult kohalik lähendus — see kirjeldab faasiportreet püsipunkti väikeses ümbruses ja võib jääda täielikult määramatuks juhul, kui omaväärtuse reaalosa on täpselt null, kuna sel juhul otsustavad lineariseerimisel kõrvale jäetud mittelineaarsed liikmed täpselt, kas punkt on stabiilne, ebastabiilne või midagi kummalisemat (tsenter, piirtsükkel). Just see lünk on põhjus, miks liigitust nimetatakse kvalitatiivseks: see ütleb voo kuju, mitte suletud kujul trajektoori, ja saab selle kuju täpselt tänu sellele, et jättis kõrvale info, mis lubaks süsteemi täpselt lahendada.