Gaussi ja Stokesi teoreemid

Matemaatilise analüüsi põhiteoreem ütleb, et tuletise integreerimine üle lõigu taandub algfunktsiooni hindamisele kahes otspunktis — sisemine detail taandub ja alles jääb ainult raja. Gaussi teoreem ja Stokesi teoreem on sama mõte, üks mõõde kõrgemal, ja selle sugulussuhte äratundmine on kiireim viis meelde jätta, mida kumbki teeb.

Gaussi teoreem ütleb, et ∇·F integreerimine üle tahke ruumala võrdub F kogu vooguga läbi seda ümbritseva pinna. Intuitiivselt: liida kokku iga lõpmatult väike allikas ja neel ruumala sees, ja see, mis jääb üle pärast sisemiste voogude taandumist, ongi täpselt see, mis läbib raja. Ruumalaintegraal — kolmemõõtmeline, "sisemine" arvutus — taandub pindalaintegraaliks — kahemõõtmeliseks "raja" arvutuseks. See ongi korduv rajamuster.

Stokesi teoreem teeb sama asja ühe mõõtme võrra madalamal: ∇×F integreerimine üle pinna võrdub F tsirkulatsiooniga ümber seda pinda piirava kõvera. Liida kokku iga lõpmatult väike keeris üle pinna ja sisemised pöörlemised taanduvad paarikaupa, jättes alles ainult ääre kaudu kulgeva üksiku ringintegraali. Sama muster jälle — pindalaintegraal taandub raja (joon)integraaliks.

Need ei ole formaalsed kurioosumid. Gaussi seadus elektriväljade jaoks ongi Gaussi teoreem Coulombi väljale rakendatuna, muutes raske ruumalaarvutuse lihtsaks pindalaarvutuseks alati, kui sümmeetria lubab valida mugava pinna. Faraday seadus seob pinda läbiva muutuva magnetvoo indutseeritud elektriväljaga, mis tsirkuleerib ümber selle raja — täpselt Stokesi teoreem. Vektorisamasuse õppimine ja füüsikaseaduse õppimine on neil juhtudel üks ja sama tegevus.