Omaväärtused ja omavektorid

Enamik vektoreid, mida maatriks tabab, tuleb välja kuhugi mujale osutades: pööratud, nihutatud, teiste mõõtmetega läbi põimunud. Omavektor on erand — suund, mille maatriks rahule jätab, ainult venitades või kahandades seda, võimalik, et otsast otsani ümber pöörates. Sümbolites Av = λv: maatriksi rakendamine v-le annab tagasi sama vektori, korrutatuna üksainsa arvuga, omaväärtusega λ. Selles ühes suunas on maatrikskorrutamine taandunud tavaliseks korrutamiseks.

Omavektorid leitakse lahendades det(A − λI) = 0 λ suhtes ja lahendades siis (A − λI)v = 0 v suhtes iga juure jaoks — ja just siin tasub end ära varasem determinandi tähendus: A − λI on singulaarne täpselt siis, kui see surub mingi suuna nulliks, ja see kokkusurutud suund ongi omavektor. Nulliga võrduv omaväärtus ei ole meetodi ebaõnnestumine; see ütleb, et maatriks ise ei ole pööratav, sest mingi vektor surutakse olematuks.

Kasu seisneb vaatenurga muutumises. Standardteljestikus kirjeldatuna võib teisendus näida lootusetult sassis. Kirjeldatuna mööda omavektoreid — kui neid on piisavalt sõltumatuid, et moodustada baas — on sama teisendus lihtsalt sõltumatute venituste kogum, üks arv telje kohta, ilma nendevahelise sidumiseta. Just seepärast on omavektorid süsteemi enda moodide loomulik kirjeldus: võnkuva konstruktsiooni normaalmoode, kvantsüsteemi statsionaarseid olekuid ja mistahes lineaarse protsessi stabiilseid suundi leitaksegi täpselt selle arvutusega. Eri omaväärtustele kuuluvad omavektorid osutavad ka tõeliselt eri suundades — mitte kunagi samas — ja just see teebki need üldse kasulikuks alternatiivse teljestikuna.