Greeni funktsiooni meetod
Greeni funktsioon G(x, ξ) on lineaarse operaatori vastus ühele punktimpulsile kohal ξ, mis on ehitatud üks kord ainult rajatingimuste põhjal — kui see on olemas, on sama operaatori lahendus suvalise lähteliikme f(x) korral lihtsalt integraal ∫G(x, ξ)f(ξ)dξ, mis muudab igasuguse tuleviku ülesande samade rajatingimustega otsimiseks ja integreerimiseks, mitte uueks tuletuseks.
Practise this conceptGreeni funktsioon vastab ühele küsimusele üks kord ja jäädavalt: kui lineaarne operaator L mõjub süsteemile fikseeritud rajatingimustega, mida süsteem teeb vastuseks ühele lõpmata teravale torkele ühes punktis ξ? See vastus, asukoha x funktsioonina, on G(x, ξ) — määratud võrdusega L[G] = δ(x − ξ) koos rajatingimustega.
Kasu seisneb selles, et suvalise lähteliikme saab ehitada punktimpulssidest. Tegelik lähteliige f(x) on lihtsalt pidev jada väikestest impulssidest, igaüks tugevusega f(ξ)dξ kohal ξ. Kuna L on lineaarne, on vastus kogu lähtele summa — tegelikult integraal — igale osale antud vastustest: y(x) on integraal G(x, ξ)f(ξ) dξ. Kord leitud G muudab igasuguse järgneva ülesande sama operaatori ja rajatingimustega integraaliks, mitte uueks tuletuseks.
G(x, ξ) on tegelikult kahe muutujaga tükiti määratud objekt: sellel on tavaliselt üks valem x < ξ ja teine x > ξ korral, mis on kohal x = ξ ühendatud nii, et G ise on pidev, kuid tema tuletisel on hüpe — just see hüpe on vajalik, et tekitada deltafunktsioon, kui L (mis sisaldab teist tuletist) rakendub. See tükiti struktuur ei ole tüsistus, millest üle astuda — see on impulssvastuse matemaatiline tunnusmärk ja just see teeb meetodi toimivaks.
Key ideas
Requires: Teist järku diferentsiaalvõrrandid
Common misconceptions
- Arvamine, et Greeni funktsioon tuleb tuletada uuesti igal korral, kui lähteliige f(x) muutub — jättes tähele panemata, et G(x, ξ) sõltub ainult diferentsiaaloperaatorist ja rajatingimustest, mistõttu kasutatakse sama Greeni funktsiooni suvalise f korral, pannes selle vaid uude integraali.
- Ootamine, et G(x, ξ) on üks sujuv valem, mis kehtib kõikjal — jättes tähele panemata, et see on tegelikult tükiti määratud, teistsuguse avaldisega x < ξ ja x > ξ korral, mis on kohal x = ξ ühendatud G enda pidevusega, kuid tuletise hüppega (just see on punktimpulsi tunnusmärk selles kohas).
- Deltafunktsiooni δ(x − ξ) käsitlemine määravas võrduses L[G] = δ(x − ξ) tavalise funktsioonina, mis on peaaegu kõikjal null ja üheski punktis tohutult suur — selle asemel, et käsitleda seda distributsioonina, mis on määratud oma käitumisega integraali all (∫δ(x − ξ)h(x)dx = h(ξ)) — just see omadus on see, mida tegelikult kasutatakse, kui Greeni funktsiooni integraal taastab lähteliikme.
Resources
Kuulub nende TÜ ainete hulka
See mõiste on kaardistatud järgmis(t)e Tartu Ülikooli õppekava aine(te) osaliseks kattmiseks.
- Matemaatilise füüsika võrrandidLOFY.04.035