Osatuletistega diferentsiaalvõrrandid (lihtsamad juhud)

Harilik diferentsiaalvõrrand sisaldab tuletisi ühe muutuja järgi, ja selle lahendi fikseerib käputäis arve — näiteks algasukoht ja algkiirus. Osatuletistega diferentsiaalvõrrand sisaldab mitme muutuja funktsiooni (tavaliselt asukoha ja aja) osatuletisi, ja see täiendav dimensioon muudab kõike: üldlahend sisaldab suvalisi funktsioone, mitte suvalisi konstante, ning fikseerub üheks konkreetseks lahendiks alles siis, kui on antud nii rajatingimused (mis toimub piirkonna äärtel igal ajahetkel) kui ka algtingimused (milline näeb kogu piirkond välja ühel ajahetkel).

Kolme nimega võrrandit tasub tunda nende kvalitatiivse käitumise, mitte üksnes sümbolite järgi. Soojusvõrrand (∂u/∂t = α∇²u) on difusioonivõrrand: see võtab suvalise, ka väga sakilise algse temperatuuriprofiili ja silub selle aja edenedes pöördumatult — soojusvõrrandi lahendit ei saa käivitada tagurpidi ja saada tagasi järsku algpiiki. Lainevõrrand (∂²u/∂t² = c²∇²u) on vastupidine: see levitab häiret, järskude tunnusjoontega kõike, kadumatult, ning on aja suhtes pööratav — lainelahenduse film, mida vaadatakse tagurpidi, on ikkagi kehtiv lainelahendus. Laplace'i võrrandil (∇²u = 0) puudub ajasõltuvus üldse; see kirjeldab statsionaarset olekut, kuju, milleni difundeeruv või võnkuv süsteem lõpuks seab, kui midagi enam ei muutu.

Selle äratundmine, kumba kolmest arhetüübist antud võrrand meenutab — esimest järku ajas ja difusiivne, teist järku ajas ja lainelaadne, või ajast sõltumatu — on tavaliselt kasulikum juba ette kui ükski lahendustehnika, kuna see ütleb, mis tüüpi käitumist oodata, enne kui midagi on lahendatud.