Päratud integraalid
Päratu integraal laiendab kindla integraali lõpmatu integreerimispiiriga või intervalli sees tõkestamata alusfunktsiooniga juhtudele; tal on väärtus ainult siis, kui vastav harilike integraalide piirväärtus tegelikult koondub, mitte lihtsalt seetõttu, et alusfunktsioon kahaneb.
Practise this conceptPäratu integraal tekib alati, kui kindla integraali intervall või alusfunktsioon "ei püsi paigal": integreerimispiir on lõpmatu või alusfunktsioon paisub intervalli sees kuskil lõpmatuseni. Kummalgi juhul ei saa seda lihtsalt analüüsi põhiteoreemile üle anda, sest lõpmatu riba või vertikaalse asümptoodi kohal ei ole tavalist pindala arvutada.
Lahendus on tõmmata häirekohale muutuja abil "piir", integreerida tavapäraselt kuni selle piirini ning võtta seejärel piirväärtus, kui piir liigub lõpmatuse või erikoha suunas. Kui see piirväärtus on olemas ja lõplik, koondub päratu integraal selle väärtuseni; kui piirväärtus on lõpmatu või puudub, integraal hajub — ja hajuval integraalil pole väärtust, ka mitte väga suurt.
Klassikaline näide on ∫₁^∞ x⁻ᵖ dx: see koondub täpselt siis, kui p > 1, ning hajub — ka piirjuhul p = 1 — kõikidel muudel juhtudel. Seda üht seost tasub meeles pidada, sest tundmatu alusfunktsiooni võrdlemine x⁻ᵖ-ga on tavaliselt kiireim viis koonduvuse üle otsustada ilma midagi arvutamata.
Key ideas
Requires: Määratud integraal
Formulas
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| astendaja | 1 (mõõtühikuta) | |
| päratu integraal | 1 (mõõtühikuta) |
Common misconceptions
- Arvab, et lõpmatu piiriga integraal on automaatselt lõpmatu, kontrollimata, kas osaintegraalide piirväärtus tegelikult koondub.
- Arvab, et kui alusfunktsioon kaldub x lõpmatusse minnes nulli, peab integraal koonduma — samastades sellega vääralt integraali ∫₁^∞ 1/x dx koonduvaks, kuna 1/x → 0.
- Käsitleb tõkestamata alusfunktsiooniga integraali (nt 1/√x nulli lähedal) täpselt nagu tavalist kindlat integraali, ilma piirväärtust võtmata, kui lähenetakse sellele eripunktile.
Resources
Kuulub nende TÜ ainete hulka
See mõiste on kaardistatud järgmis(t)e Tartu Ülikooli õppekava aine(te) osaliseks kattmiseks.
- Kõrgem matemaatika IMTMM.00.340