Määratud integraal

Määratud integraal algab hoopis teisest mõttest kui määramata integraal. Lõika kõvera alune piirkond lõigul a-st b-ni õhukesteks ristkülikuteks, liida nende pindalad ja lase seejärel ribadel piiramatult õhemaks muutuda. Kui need summad koonduvad, on piirväärtus Riemanni integraal — üksainus arv, mitte funktsioon, mis tähistab kogunenud kogusummat.

Just see raamistus teeb selle kasulikuks palju laiemalt kui pindala jaoks. Lõika teekond lühikesteks vahemikeks, kus kiirus on peaaegu jääv, ja summa v·Δt läheneb läbitud teepikkusele. Lõika lükkamine vahemikeks, kus jõud on peaaegu jääv, ja summa F·Δx läheneb tehtud tööle. Alati, kui suurus tekib muutumiskiiruse kogumisest mingil vahemikul, on tegu määratud integraaliga.

Newton-Leibnizi valem on üllatus: selle summade piirväärtuse saab arvutada integreerimise teel. Leia mistahes F, mille F′ = f, ja integraal on F(b) − F(a). Sellest tuleneb otse kaks järeldust. Liige +C on siin ebaoluline, sest see taandub lahutamisel — just seepärast piisab "mistahes algfunktsioonist". Ja tulemus on märgiga: lõigud, kus funktsioon on negatiivne, panustavad negatiivselt, nii et integraal võib tulla negatiivne või null, kuigi piirkonnal on ilmselgelt pindala. Kui soovid märgita pindala, integreeri absoluutväärtust või jaga lõik nullkohtades osadeks ja liida tükid kokku.