Sirged ja tasandid ruumis

Sirge kirjeldamiseks ruumis on vaja punkti, mida see läbib, ja suunda, kuhu liikuda — see ongi kohavektor pluss sihivektori kordne, r = r₀ + tv. Tasandi kirjeldamiseks on vaja punkti ja, mis kasulikum, vektorit, mis on sellega risti: normaali. Kõik ülejäänu tuleneb neist kahest kirjeldusest.

Normaal on mõte, mille juures tasub peatuda, sest see torkab tasandist välja, mitte ei asu selle sees. Selle jõud seisneb selles, et punkt asub tasandil täpselt siis, kui vektor lähtepunktist selleni on normaaliga risti — see tähendab, kui skalaarkorrutis on null. Kirjuta see tingimus koordinaatides lahti ja saad tuttava ax + by + cz = d, kus (a, b, c) ongi normaalvektor, mille saab võrrandilt otse maha lugeda.

Kaks hoiatust. Tasandil on lõpmata palju kehtivaid võrrandeid: korruta kogu avaldis kahega ja see kirjeldab sama tasandit, sest normaali pikkus ei olnud kunagi oluline, ainult selle suund. Ja kolmemõõtmelises ruumis ei pea kaks mitteparalleelset sirget kohtuma — need võivad teineteisest eri kõrgustel mööda minna, mis lamedal lehel on võimatu. Need on kiivsirged ja nende olemasolu unustamine on kõige tavalisem viga, mis kandub üle kahemõõtmelisest intuitsioonist. Kas kaks sirget on paralleelsed, lõikuvad või kiivsed, otsustab vektorkorrutis ja skalaarkorrutis, mitte joonistamine.