Lineaarvõrrandisüsteemid

Iga kolme tundmatuga lineaarvõrrand kirjeldab tasandit. Süsteemi lahendamine tähendab kõigile ühiste punktide leidmist ja just see geomeetriline pilt seletab kogu vastuse. Kolm tasandit võivad kohtuda ühes punktis, ühisel sirgel, jagada tervet tasandit või mitte omada ühtegi ühist punkti — ja ei ole olemas paigutust, mis annaks täpselt kaks lõikepunkti. Just seepärast on lahendite arv alati null, üks või lõpmatus, mitte kunagi midagi muud.

Võrrandite loendamine ei ütle, millise juhuga on tegu. Kolm võrrandit kolme tundmatuga näivad otsustavad, kuid kui üks võrrand on lihtsalt kahe ülejäänu summa, ei lisa see infot ja lahendihulk on sirge. Vastupidi, süsteem, kus on rohkem võrrandeid kui tundmatuid, on tavaliselt vastuoluline, kuid ei pea seda olema — lisavõrrandid võivad lihtsalt korrata juba teadaolevat. Usaldusväärne kontroll on kordajate maatriksi determinant: nullist erinev tähendab täpselt üht lahendit, null tähendab, et teisendus surub ruumi kokku ja vastus on kas lahendite puudumine või lõpmata palju lahendeid.

Gaussi meetod on see, mis asja praktikas otsustab. Liida ridade kordseid teistele ridadele, et tekitada diagonaali alla nullid, ja loe seejärel vastus asendamisega tagasi. Selle voorus on, et see ei pea ette teadma, milline juht kehtib: nullidest koosnev rida, mis võrdub nulliga, paljastab üleliigse võrrandi ja lõpmata palju lahendeid, samas kui nullidest koosnev rida, mis võrdub nullist erineva arvuga, on vastuolu 0 = 1 ja tõestab, et lahendit ei ole.