Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid ja Lagrange'i kordajate meetod
Funktsiooni f(x, y) tingimusteta lokaalne ekstreemum saab tekkida ainult seal, kus kõik osatuletised on null, ning teise tuletise (Hesse maatriksi) test eristab seejärel maksimumi, miinimumi ja sadulpunkti; kui otsing on piiratud tingimusega g(x, y) = c, asendab Lagrange'i meetod selle tingimuse võrdusega ∇f = λ∇g — geomeetriline fakt, et piiratud ekstreemumis on f taseme joon g kõveraga puutuja.
Practise this conceptMitme muutuja funktsiooni suurima või väiksema väärtuse leidmine algab samamoodi nagu ühe muutuja korral: sujuv lokaalne ekstreemum saab olla ainult seal, kus kõik osatuletised on null, nii et ∇f = 0 annab kandidaatpunktide hulga. Erinevalt ühe muutuja juhust ei jagune lame gradient enam puhtalt "maksimumiks" või "miinimumiks" — see võib olla sadulpunkt, mis on ühes suunas lame ja teises suunas vastupidiselt kõverdunud. Hesse maatriks (teist järku osatuletiste maatriks) lahendab selle: selle märkide muster eristab tõelist maksimumi, tõelist miinimumi ja sadulpunkti.
Piiratud ekstreemumülesanne muudab küsimust: parima punkti asemel kogu tasandil otsitakse parimat punkti kõveral g(x, y) = c. Sellises piiratud ekstreemumis on f taseme joon g kõveraga puutuja — geomeetriliselt, kui see ei oleks puutuja, saaks tingimuse piiril veidi liikuda ja f väärtust ikkagi parandada. Puutumine tähendab, et kaks gradienti on paralleelsed, mis on täpselt võrdus ∇f = λ∇g. See võrdus ei ole aga terve ülesanne: selle lahendamine määrab ainult suuna tingimuse suhtes, seega tuleb koos sellega lahendada ka tingimuse võrrand g(x, y) = c, et saada tegelik punkt.
Kordaja λ ei ole ära visatav vaheväärtus — see mõõdab, kui tundlik on f optimaalne väärtus tingimuse taseme c väikese muutuse suhtes; sama tõlgendus annab Lagrange'i kordajatele kesksel kohal majanduses (varihinnad) ja füüsikas (piiravad jõud).
Key ideas
Requires: Osatuletised
Common misconceptions
- Arvab, et iga punkt, kus ∇f = 0, peab olema lokaalne ekstreemum, rakendamata teise tuletise (Hesse maatriksi) testi, mis välistaks sadulpunkti.
- Käsitleb Lagrange'i kordajat λ tähenduseta ülejäänud algebralise sümbolina, mitte kiirusena, millega f optimaalne väärtus muutub tingimuse taseme c ühiku kohta.
- Lahendab võrduse ∇f = λ∇g kandidaatpunkti leidmiseks ja peatub, unustades, et algne tingimus g(x, y) = c on ise süsteemi vajalik võrrand, mitte ainult ülesande pealkiri.
Resources
Kuulub nende TÜ ainete hulka
See mõiste on kaardistatud järgmis(t)e Tartu Ülikooli õppekava aine(te) osaliseks kattmiseks.
- Kõrgem matemaatika IIMTMM.00.341