Vektorväljad ja gradient

Skalaarväli seab igale ruumipunktile vastavusse ühe arvu — temperatuur, rõhk, kõrgus. Vektorväli seab vastavusse vektori — tuule kiirus, gravitatsioonitõmme, elektriväli. Need on eri laadi objektid ja vahe loeb kohe: temperatuuri ei saa liita tuule kiirusega ja neid kaht joonistatakse erinevalt, üht väärtuste varjutatud kaardina, teist nooltena.

Gradient on nendevaheline sild: see võtab skalaarvälja ja tekitab vektorvälja. Igas punktis on ∇f üles ehitatud osatuletistest (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) ning see osutab suunas, kus f kõige kiiremini kasvab, pikkusega, mis võrdub selle järseima kasvukiirusega. Gradiendi suunas kõndimine tõuseb mäest üles nii kiiresti kui võimalik; sellele vastupidises suunas kõndimine laskub kõige kiiremini — sellel põhinevadki gradientlaskumise meetodid, mida kasutatakse kogu rakendusmatemaatikas.

Gradiendi suund on alati risti f nivoopindadega — joontega, mille ulatuses f on konstantne, nagu ilmakaardi isotermid. See ei ole meeldejätmist vajav juhus, vaid otsene tagajärg definitsioonist: liikumine mööda nivoopinda ei muuda f-i üldse, seega peab kiireima muutuse suund olema risti iga suunaga, mis muutust ei tekita. Kõrgusjoonte kaardid teevad selle otse nähtavaks — järseim tee mäest üles ristub alati kõrgusjoontega täisnurga all, ei jookse kunagi mööda ühte neist.