Jäägiteoreem ja kontuurintegreerimine

Funktsiooni, mis on täiesti korrektne (holomorfne) kõikjal, välja arvatud käputäies isoleeritud punktides, saab siiski integreerida suletud tee ümber, mis neid punkte väldib, ja jäägiteoreem ütleb, et vastus sõltub ainult sellest, mis toimub kontuuri sisse jäävates eripunktides: ∮f(z)dz = 2πi · Σ(jäägid kontuuri sees). Kõik, kus funktsioon on holomorfne, ei annab mitte midagi — kontuuri deformeerimine läbi holomorfse piirkonna ei muuda integraali kunagi, ja just seetõttu on ainult eripunktid olulised.

Jääk ise on üksainus kompleksarv, mis on võetud funktsiooni Laurent' reast selles punktis — levinud lihtsa pooluse korral on see lihtsalt piirväärtus, kui z läheneb z₀-le, avaldisest (z − z₀)f(z): kordaja, mis jääb üle, kui poolus taandada ja piirväärtus võtta. Kõrgema järjekorra poolused vajavad tuletisel põhinevat selle valemi üldistust, ja see on täpselt selline detail, mis loeb jäägi õigesti arvutamisel, aga ei mõjuta seda, kas poolus üldse loeb: iga poolus, mis on rangelt kontuuri sees, annab oma jäägi, sõltumata tema järjekorrast.

See aparaat muudab reaalintegraalid, mis harilikule matemaatilisele analüüsile vastu panevad — paljud ratsionaal- või trigonomeetriliste funktsioonide integraalid üle kogu reaaltelje — kaheastmeliseks retseptiks: sulge reaaltelje tee suure poolringikujulise kaarega, näita, et kaare panus kaob raadiuse kasvades, ja loe vastus välja 2πi korda kontuuri sisse jäävate jääkide summana. Reaalintegraali ei arvutatud kunagi otse — see tuli välja komplekse integraali kõrvalsaadusena.