Kvantharmooniline ostsillaator

Vedru otsas olev mass on klassikalise ostsillaatori tüüpnäide: sellel võib olla mistahes energia, mille määrab see, kui kaugele see enne vabastamist tagasi tõmmati, ja see võib seista täiesti liikumatult oma potentsiaaliaugu põhjas täpselt nullenergiaga. Lahenda Schrödingeri võrrand sama ruutliku potentsiaali jaoks ja mõlemad need klassikalised faktid osutuvad kvanttasandil valeks.

Kvantharmoonilise ostsillaatori lubatud energiad moodustavad diskreetse redeli, En = (n + 1/2)ħω, kus ω on ostsillaatori klassikaline nurksagedus ja n = 0, 1, 2, ... tähistab nivood. Kaks selle valemi omadust väärivad peatumist. Esiteks on nivood ühtlaste vahedega: liikumine ükskõik millisest nivoost järgmisele ülespoole maksab alati täpselt sama palju energiat, ħω, sõltumata sellest, millisest nivoost alustatakse — silmatorkavalt erinev muster näiteks vesinikuaatomi omast, mille nivood koonduvad kõrgema energia juures üksteisele lähemale. Teiseks, ja üllatavamalt, isegi madalaimal nivool n = 0 ei ole nullenergiat: sellel on E0 = ħω/2, mida nimetatakse nullpunktienergiaks. Kvantostsillaatorit ei saa kunagi viia täielikku puhkeolekusse oma potentsiaaliaugu põhjas; isegi oma põhiolekus säilitab see taandamatu miinimumi nii kineetilisest kui potentsiaalsest energiast, mis on otsene tagajärg määramatuse printsiibile — osakese fikseerimine täpsele asukohale täpse nullimpulsiga rikuks asukoha ja impulsi määramatuse vahekorda.

See nullpunktienergia ei ole matemaatiline kummalisus; see on mõõdetav ja füüsikaliselt oluliste tagajärgedega. See on osaliselt põhjuseks, miks tahked ained säilitavad jääkatomaarse võnkumise isegi jahutatuna suvaliselt lähedale absoluutsele nullpunktile, ning sama ühtlaste vahedega redeli struktuur ilmub kogu füüsikas kõikjal, kus süsteem on ligikaudselt harmooniline stabiilse tasakaaluoleku lähedal — võnkuvad kaheaatomilised molekulid ja kristallvõre normaalmoodid on mõlemad, heas lähenduses, kvantharmooniliste ostsillaatorite kogumid, pärides mudeli nii ühtlase energiavahe kui vältimatu nullpunktienergia.