Laplace'i teisendus

Laplace'i teisendus võtab aja funktsiooni f(t) ja annab uue funktsiooni komplekssest muutujast s: F(s) on integraal 0-st ∞-ni f(t)e^(−st) dt. Kasulikuks teeb selle mitte integraal ise, vaid algebra, mida see võimaldab. Tuletamine ajatasandil muutub korrutamiseks s-ga teisendustasandil, ja integreerimine jagamiseks s-ga. Lineaarne diferentsiaalvõrrand, mida on otse lahendada tegelikult raske, muutub algebraliseks võrrandiks F(s) suhtes, mida on lihtne lahendada.

Algtingimused ei jää selles protsessis kaduma — need tulevad otse tuletise teisendusest: f'(t) Laplace'i teisendus on s·F(s) − f(0). See on omadus, mis teeb Laplace'i teisenduse, mitte lähedaselt seotud Fourier' teisenduse, algväärtusülesannete standardseks tööriistaks: süsteemi algseisund on juba esimesest sammust algebrasse sisse ehitatud, mitte midagi, mida tuleks hiljem juurde sobitada.

Algebralise võrrandi lahendamine F(s) suhtes on protsessi keskosa, mitte lõpp. F(s) kirjeldab lahendust sagedustasandil — selleks, et välja lugeda, mis tegelikult aja jooksul juhtub, tuleb see pöördteisendusega tagasi teisendada, tavaliselt jagades F(s) osamurdudeks, mis vastavad tabelis toodud kujudele. See kolmeastmeline rütm — teisenda, lahenda algebraliselt, teisenda tagasi — on kogu meetod, ja viimase astme vahele jätmine on kõige tavalisem viis jääda tegeliku vastuseni jõudmata.