Muutujate eraldamise meetod ja Sturm-Liouville'i ülesanded

Muutujate eraldamine on täpseks tehtud oletus: osatuletistega võrrandi jaoks, nagu soojus- või lainevõrrand ühes ruumimõõtmes, eeldatakse, et lahend on korrutiskujuline u(x, t) = X(x)T(t). Selle oletuse asendamine ja jagamine XT-ga jagab võrrandi kaheks osaks — üks sõltub ainult x-ist, teine ainult t-st — ja kuna ainult x-i funktsioon võib võrduda ainult t funktsiooniga vaid siis, kui mõlemad on samad konstant, peavad mõlemad osad võrduma jagatud eraldamiskonstandiga, mida tähistatakse tavaliselt −λ. See muudab ühe osatuletistega võrrandi kaheks harilikuks diferentsiaalvõrrandiks.

Ruumiline harilik diferentsiaalvõrrand koos algsest ülesandest kaasa tulnud rajatingimustega on Sturm-Liouville'i ülesanne: sellel ei ole lahendit iga λ jaoks, ainult diskreetse omaväärtuste hulga jaoks, millest igaühel on oma omafunktsioon. See on täpselt analoogne maatriksiga, millel on nullruumis lahendid ainult omaväärtuste juures — siin on "maatriks" diferentsiaaloperaator, ja rajatingimused on need, mis sunnivad spektrit olema diskreetne, mitte pidev.

Sturm-Liouville'i ülesande omafunktsioonid on omavahel alati ortogonaalsed ülesande omasse struktuuri sisseehitatud kaalufunktsiooni suhtes (lihtsaimate õpikunäidete jaoks on see kaal lihtsalt 1, mistõttu on kerge unustada, et see üldse olemas on). See ortogonaalsus on see, mis paneb kogu meetodi toimima: iga rajatingimusi rahuldav lahend saab kirja panna ridana — üldistatud Fourier' ridana — nendest omafunktsioonidest, ja just ortogonaalsus lubab lahendada iga rea kordaja eraldi, projitseerides algtingimuse kordamööda igale omafunktsioonile.