Esimest järku diferentsiaalvõrrandid

Algebraline võrrand küsib, milline arv seost rahuldab. Diferentsiaalvõrrand küsib, milline funktsioon rahuldab seost, mis sisaldab tema enda muutumiskiirust. Just see nihe on kogu raskus ja kogu jõud: loodus on täis väiteid kujul "kiirus, millega see muutub, sõltub sellest, kui palju seda on", ja need on diferentsiaal-, mitte algebralised võrrandid.

Lihtsaim kasulik tüüp on eralduvate muutujatega: vii kõik y-d ühele poole koos dy-ga ja kõik x-id teisele poole koos dx-ga ning integreeri siis mõlemat poolt. Võrrandist dy/dx = 2y saab dy/y = 2 dx, mis integreerub kujule ln|y| = 2x + C ja teiseneb kujule y = Ce^(2x). Pane tähele, mis välja tuli — mitte arv, vaid funktsioonide pere, üks iga C kohta. Eksponentsiaalne kasv ja kahanemine, Newtoni jahtumisseadus ja radioaktiivne lagunemine jõuavad kõik siia sedasama teed. Lineaarne esimest järku võrrand dy/dx + P(x)y = Q(x) on teine standardtüüp, mis lahendatakse läbikorrutamisega integreeriva teguriga, mis on valitud nii, et vasak pool muutuks üheks tuletiseks.

Konstant on koht, kust füüsika sisse tuleb. Muutumiskiirus ei saa teada, kust protsess algas, seega annab võrrand üksi terve pere; algtingimus nagu y(0) = 5 valib välja ühe liikme. Ilma selleta on vastus tõeliselt poolik, mitte lihtsalt korrastamata. Ja hoiatus, mis tasub kaasa võtta: eralduvate muutujatega ja lineaarsed võrrandid on korralikult käituv vähemus. Enamikul diferentsiaalvõrranditest ei ole üldse elementaarfunktsioonidega väljendatavat lahendit ja just seepärast on numbrilised meetodid ja kvalitatiivne analüüs sama olulised kui lahendusvõtted.