Maatriksid

Pealtnäha on maatriks lihtsalt arvud tabelis. Uurimist väärivaks teeb selle see, mida ta teeb: m×n maatriks kodeerib lineaarteisenduse, mis viib n-mõõtmelised vektorid m-mõõtmelisteks. Maatriksi korrutamine vektoriga rakendab teisendust; tabel on arvepidamine.

See vaade seletab korrutamisreeglit, mis muidu näib meelevaldne. Korrutise AB element real i ja veerus j on A rea i ja B veeru j skalaarkorrutis — mitte vastavate elementide korrutis, mida teeb liitmine ja mida enamik inimesi ootab. Reegel on selline, sest AB peab tähendama "tee B, siis tee A", ja teisenduste järjestikku rakendamine sunnib peale täpselt selle aritmeetika. See seletab ka mõõtmenõuet: A veergude arv peab vastama B ridade arvule, muidu on liitmine mõttetu.

Järjekord seega loeb. Pööramine ja siis peegeldamine ei ole sama mis peegeldamine ja siis pööramine, seega AB ≠ BA üldjuhul — ebavõrdus, millel tavalises aritmeetikas vastet ei ole ja mis paneb peaaegu igaühe vähemalt korra komistama. Ka jagamisel ei ole vastet. Selle asemel on pöördmaatriks A⁻¹, mis tühistab A, ja see on olemas ainult siis, kui teisendus on pööratav. Maatriks, mis surub ruumi sirgele lamedaks, on hävitanud info, mida ükski pöördmaatriks ei taasta, ja selle determinant on null — just selleks determinant ongi.