Funktsiooni piirväärtus

Piirväärtus esitab hoolika küsimuse: kui sisend läheneb suvaliselt lähedale mingile punktile a, millise väärtuse poole väljundid settivad? Oluline on, et see ei küsi kunagi, mis juhtub punktis a endas. Funktsioon võib olla seal määramata või määratud mingi täiesti seosetu väärtusega ja piirväärtust see kummalgi juhul ei mõjuta.

Just see tahtlik pimedus ongi mõte. Vaata avaldist (x² − 1)/(x − 1) kohal x = 1: asendamine annab 0/0, mis ei ütle midagi. Kuid iga x korral peale ühe taandub avaldis kujule x + 1, nii et x-i lähenedes lähenevad väljundid kahele. Piirväärtus on 2, kuigi funktsioonil on seal auk. Täpselt selles olukorras elabki tuletis — diferentssuhe on huvipakkuvas punktis 0/0 — ja just seepärast tuli piirväärtused täpseks muuta enne, kui matemaatiline analüüs sai võimalikuks.

Kahte ülekorrigeerimist tasub vältida. Esiteks, korralikult käituvate funktsioonide korral piirväärtus võrdubki väärtusega: funktsiooni f(x) = 5 piirväärtus on igas punktis 5 ja väide "piirväärtusi ei saavutata kunagi" on lihtsalt vale. Funktsioonid, mille piirväärtus ja väärtus kõikjal ühtivad, ongi täpselt pidevad funktsioonid — nii pidevus defineeritaksegi. Teiseks on piirväärtuse puudumine tõeline võimalus — väljundid võivad vasakult ja paremalt suunduda eri väärtuste poole või kasvada piiramatult — ja see on pigem informatiivne kui tehnika läbikukkumine.