Lõpmatud read

"Lõpmatu arvu arvude liitmine" ei ole tehe, mida keegi sooritada suudaks, seega definitsioon põikab sellest kõrvale. Liida esimesed n liiget — osasumma, täiesti tavaline — ja küsi siis, millele need osasummad n-i kasvades lähenevad. Kui need lähenevad piirväärtusele, rida koondub ja seda piirväärtust nimetatakse selle summaks. Kui ei lähene, rida hajub. Kõik ridade juures käib tegelikult selle osasummade jada kohta.

Nii sõnastatuna kaob esimene üllatus. Real 1/2 + 1/4 + 1/8 + … on osasummad 1/2, 3/4, 7/8, … mis hiilivad ühe poole, seda kunagi ületamata. Lõpmatu arv positiivseid liikmeid, lõplik summa. Põhjus on selles, et liikmed kahanevad piisavalt kiiresti, nii et see, mis veel liita jääb, mahub alati alles jäänud lünka.

Teine üllatus on teravam. Liikmed peavad koonduvuseks nullini kahanema — kuid sellest ei piisa. Harmoonilise rea 1 + 1/2 + 1/3 + … liikmed lähevad nulli ja rida hajub sellegipoolest: rühmita need nii, et 1/3 + 1/4 > 1/2, siis 1/5 + … + 1/8 > 1/2, ja nii lõputult, mistõttu summa kasvab piiramatult, olgu kui aeglaselt tahes. Koonduvuse otsustamine nõuab seega tõelisi tunnuseid — võrdlus-, suhte-, integraaltunnust — mitte pilku liikmetele. Ja koonduvad read ei ole kõik ühesugused: tinglikult koonduvaid ridu nagu 1 − 1/2 + 1/3 − … saab ümber järjestada nii, et summaks tuleb mistahes soovitud väärtus, nii et isegi liitmise kommutatiivsus lakkab olemast ohutu, kui mängus on lõpmata palju liikmeid.