Määramata integraal

Tuletise võtmisega käib kaasas loomulik küsimus: kui muutumiskiirus on antud, milline oli algne funktsioon? See ümberpööramine on integreerimine ja selle vastus ei ole kunagi üksainus funktsioon. Kuna iga konstandi tuletis on null, on nii x², x² + 7 kui ka x² − 100 tuletis 2x. Avaldise 2x "selle" algfunktsiooni leidmine annab seega terve pere, mis kirjutatakse x² + C.

Liige +C ei ole kaunistus. See on vabadusaste, mida muutumiskiirus ei suuda määrata, ja selle kinnitamiseks on vaja üht lisaandmet — algasukohta, algtemperatuuri, rajatingimust. Jäta see ära ja oled vaikimisi eeldanud üht kindlat pere liiget — nii muutub korrektne integreerimine valeks füüsikaliseks vastuseks.

Integreerimine on ka tuletise võtmisest palju raskem, ja seda kindlal viisil. Tuletiste jaoks on olemas korrutise ja jagatise reeglid, kuid integraalidele vastavaid valemeid ei ole — ∫fg ei ole ∫f·∫g ning ülesanded nagu ∫x·cos x dx nõuavad ositi integreerimist või muutujavahetust, mis valitakse otsustusvõime, mitte mehaanilise rakendamise teel. Veelgi hullem: mõnel täiesti tavalisel funktsioonil, nende seas e^(−x²), ei ole üldse elementaarkujul väljendatavat algfunktsiooni. See ei ole kellegi tehnika puudujääk, vaid tõestatud piirang, ja just seepärast on olemas numbriline integreerimine.